[논문 리뷰] Partial difference sets from quadratic forms and $p$-ary weakly regular bent functions

Tao Feng, Bin Wen외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 14.

Coding theory and cryptography참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $p$-형 약한 정규 벤트 함수와 일반화된 순환체를 사용하여 부분 차이 집합(PDS)과 아모르픽 연관 체계의 두 가지 새로운 구성법을 제안한다. 먼저, $p$-형 약한 정규 벤트 함수인 고차수 동차 함수를 활용하여 애파인 극좌 그래프를 확장함으로써 새로운 음의 라틴 제곱 유형 PDS를 도출한다. 둘째, 균일 순환체를 활용한 이차형식의 일반화를 통해 명시적인 매개변수를 가진 새로운 PDS를 생성한다. 주요 기여는 이러한 PDS로부터 새로운 아모르픽 연관 체계를 구성한 것이다.

ABSTRACT

We generalize the construction of affine polar graphs in two different ways to obtain new partial difference sets and amorphic association schemes. The first generalization uses a combination of quadratic forms and uniform cyclotomy. In the second generalization we replace the quadratic form in the affine polar graph construction by higher degree homogeneous functions that are $p$-ary weakly regular bent. The negative Latin square type partial difference sets arising from the first generalization are new.

연구 동기 및 목표

• 애파인 극좌 그래프의 구성법을 이차형식을 초월하여 $p$-형 약한 정규 벤트 함수를 활용한 고차수 동차 함수로 일반화하는 것.
• 균일 순환체와 고차수 동차 함수를 통합함으로써 부분 차이 집합 이론을 확장하는 것.
• 이러한 일반화된 PDS로부터 새로운 아모르픽 연관 체계를 구성하는 것.
• 결과로 얻어진 PDS의 명시적 매개변수를 제공하고, 강한 정규 캐일리 그래프의 구조를 검증하는 것.
• 헤레스테드와 콜로샤가 구성한 비이차형 함수를 포함한 새로운 종류의 벤트 함수에 이 프레임워크를 적용할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 이차형식을 $p$-형 약한 정규 벤트 함수로 대체하여 고전적 애파인 극좌 그래프 구성법을 일반화한다.
• 벤트 함수의 수준 집합을 이용해 $\mathbb{F}_{p^n}$ 내의 부분집합 $D_0$, $D_{\text{R}}$, $D_{\text{N}}$을 정의하고, 이들이 PDS임을 보인다.
• 군 링 기법과 캐릭터 합계 계산을 활용하여 $D^2 = \gamma 1_G + (\lambda - \mu)D + \mu G$ 식을 통해 PDS 조건을 검증한다.
• 왈쉬 계수의 구조와 동차 조건을 활용하여 차수 분포의 필요 조건을 확보한다.
• 문헌 [9,10]의 정리 3.6을 활용하여 세 캐일리 그래프가 아모르픽 3계급 연관 체계를 이룬다는 것을 증명한다.
• 특수한 경우 분석을 통해 $p \mod 4$ 기반으로 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 와 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 를 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애파인 극좌 그래프의 구성법을 이차형식을 초월하여 고차수 동차 함수로 일반화할 수 있는가, 이들 함수가 $p$-형 약한 정규 벤트 함수인가?
• RQ2 $\mathbb{F}_{p^n}$ 내에서 $p$-형 약한 정규 벤트 함수의 수준 집합에서 유도된 부분 차이 집합의 매개변수는 무엇인가?
• RQ3 이러한 새로운 PDS는 적절한 대칭 조건 하에서 아모르픽 연관 체계를 유도하는가?
• RQ4 균일 순환체는 이차형식과 어떻게 상호작용하여 음의 라틴 제곱 유형 매개변수를 가진 새로운 PDS를 생성하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 헤레스테드와 콜로샤가 구성한 비이차형 벤트 함수에 적용 가능한가?

주요 결과

• 논문은 $({\mathbb{F}}_{p^n}, +)$ 내에서 $p$-형 약한 정규 벤트 함수의 수준 집합을 활용하여 새로운 부분 차이 집합을 구성하며, 이들의 명시적 매개변수는 이차형식의 유형(쌍곡형 또는 타원형)에 따라 달라진다.
• 모든 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 에 대해, $D_{C_i} = \{x \in V \mid Q(x) \in C_i\}$ 는 매개변수 $(N^2, (N - \epsilon)R, \epsilon N + R^2 - 3\epsilon R, R^2 - \epsilon R)$ 를 가진 PDS를 이룬다. 여기서 $N = q^m$, $R = f q^{m-1}$, $\epsilon = \pm 1$ 이다.
• 모든 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 에 대해, 수준 집합 $D_0$, $D_{\mathcal{R}}$, $D_{\mathcal{N}}$ 이 $({\mathbb{F}}_{p^n}, +)$ 내에서 PDS임이 입증되며, 이들의 매개변수는 캐릭터 합계 항등식과 $\mathcal{R}$, $\mathcal{N}$ 이 차수 집합으로서 가지는 구조에 기반한다.
• 세 캐일리 그래프 ${\rm Cay}(G, D_0 \setminus \{0\})$, ${\rm Cay}(G, D_{\mathcal{R}})$, ${\rm Cay}(G, D_{\mathcal{N}})$ 는 주어진 대칭성 및 동차 조건 하에서 $\mathbb{F}_{p^n}$ 상에서 3계급 아모르픽 연관 체계를 이룬다.
• 이 구성법은 고전적 이차형식 구성법으로는 실현할 수 없는 새로운 음의 라틴 제곱 유형 PDS를 도출한다.
• 이 프레임워크는 헤레스테드와 콜로샤가 최근 구성한 비이차형 $p$-형 약한 정규 벤트 함수에도 적용 가능하며, 이는 이론의 이차형식을 초월한 광범위한 적용 가능성을 보여준다.