[논문 리뷰] Partial hyperbolicity and attracting regions in 3-dimensional manifolds

Rafaël Potrie|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 124인용 수 17

한 줄 요약

이 학위논문은 3차원 다양체 위에서 부분적으로 초구형 동역학을 조사하며, 집합의 구조와 동역학적 클래스에 초점을 맞춘다. 전역 집합이 없는 새로운 디피오모르피즘 예제를 구성하고, 일부 $$\mathbb{T}^3$$ 디피오모르피즘에 대해 동역학적 일관성을 확립하며, 부분 초구형 조건 하에서 주기점의 동역학적 클래스가 일치함을 증명하고, 비동역학적 점들의 집합을 두 초구형 주기점의 안정 및 불안정 다변량의 횡단 교차로 특성화한다.

ABSTRACT

This thesis attempts to contribute to the study of differentiable dynamics both from a semi-local and global point of view. The center of study is differentiable dynamics in manifolds of dimension 3 where we are interested in the understanding of the existence and structure of attractors as well as dynamical and topological implications of the existence of a global partially hyperbolic splitting. The main contributions are new examples of dynamics without attractors where we get a quite complete description of the dynamics around some wild homoclinic classes and two results on dynamical coherence of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\TT^3$.

연구 동기 및 목표

• 3차원 다양체에서 부분 초구형 조건 하에서 집합의 존재성과 위상적 구조를 이해하는 것.
• 전역 집합이 없는 상황에서 야생적인 동역학적 클래스 주변의 동역학을 분석하는 것.
• $$\mathbb{T}^3$$에서 부분 초구형 디피오모르피즘의 동역학적 일관성을 보장하는 조건을 설정하는 것.
• 주어진 주기점의 동역학적 클래스에 속하지 않는 점들의 집합을 안정 및 불안정 다변량의 관점에서 특성화하는 것.

제안 방법

• 작은 이웃에서 정의된 국소 디피오모르피즘을 이용한 $$C^r$$-편항을 통해 궤도 구조를 수정하는 것.
• 불안정 다변량의 $$C^1$$-극한을 분석하고 횡단 교차를 이끌어내기 위해 $$\lambda$$-레마를 적용하는 것.
• 초구형 집합의 국소 최대성 조건을 이용해 소규모 편항에 대한 교차 성질의 강건성을 확보하는 것.
• 주기점의 안정 및 불안정 다변량의 구조와 그 교차를 통해 동역학을 분석하는 것.
• 교차 성질을 갖는 디피오모르피즘의 집합을 연구하기 위해 횡단성 추론과 코드임계수 1의 부분다양체 이론을 활용하는 것.
• 점이 $$p$$의 동역학적 클래스에 속하지 않으면서도 $$W^s(q) \cap W^u(p)$$에 속해야 한다는 점을 고립성과 밀도 추론을 통해 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $$\mathbb{T}^3$$에서 부분 초구형 디피오모르피즘이 동역학적 일관성을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 전역 부분 초구형 분해를 갖는 3차원 다양체에서 비집합적이고 비동역학적 영역의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 전역 집합이 없는 상황에서 두 초구형 주기점의 안정 및 불안정 다변량은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 주기점의 동역학적 클래스는 부분 초구형 조건 하에서 그 주기 궤도의 폐쇄로 특성화될 수 있는가?
• RQ5 동역학적 클래스의 맥락에서 $$W^s(q) \cap W^u(p)$$ 집합의 위상적 및 동역학적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 안정 지수가 2인 경우, 체인 재진입 집합 $$\mathcal{C}$$ 내의 모든 초구형 주기점의 동역학적 클래스는 $$p$$의 동역학적 클래스와 일치한다.
• 안정 지수가 1인 주기점의 경우, 동역학적 클래스는 $$q$$의 동역학적 클래스와 일치하며, 이는 $$q$$와의 동역학적 관계를 의미한다.
• $$\mathcal{C} \setminus H_f$$ 집합은 정확히 $$W^s(q) \cap W^u(p)$$이며, 이 점들은 $$\mathcal{C}$$에서 고립되어 있어 동역학적 클래스 내 주기 궤도의 극한점이 아니라는 것을 의미한다.
• $$p$$와 $$q$$의 동역학적 클래스는 상호간에 횡단 교차와 주기점의 밀도를 통해 서로의 클래스의 조밀성으로 인해 일치한다.
• $$W^{uu}_{loc}(f^n(x))$$가 큰 $$n$$에 대해 $$W^s(p)$$와 교차하는 디피오모르피즘의 집합은 잔여집합을 이룬다. 이는 일반적인 동역학적 행동을 의미한다.
• $$f^n(W^{uu}_{loc}(p))$$와 $$W^{ss}_{loc}(q)$$ 사이의 횡단 교차를 갖는 디피오모르피즘의 집합 $$\mathcal{D}$$는 코드임계수 1의 부분다양체들의 가산 합집합이며, 이는 큰 $$n$$에 대해 일반적으로 교차가 일어나지 않음을 의미한다.