[논문 리뷰] Partial Isometries, Duality, and Determinantal Point Processes

Makoto Katori, Tomoyuki Shirai|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 12.

Random Matrices and Applications참고 문헌 60인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 $L^2(S_\nu, \lambda_\nu)$, $\nu=1,2$ 위에서 부분 등장사상과 쌍대성을 이용하여 결정식 점과정(DPP) 쌍을 구성하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 만약 유계 선형 연산자 $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$ 가 국소 힐버트-슈미트 부분 등장사상이라면, $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 로부터 유일한 DPP가 유도되며, $\mathcal{W}^*$ 또한 국소 힐버트-슈미트이면 쌍대 DPP 쌍이 나타나며, 이는 새로운 구조적 대칭성과 보편 DPP 가족에 대한 다수의 커널 표현을 드러낸다.

ABSTRACT

A determinantal point process (DPP) is an ensemble of random nonnegative-integer-valued Radon measures $Ξ$ on a space $S$ with measure $λ$, whose correlation functions are all given by determinants specified by an integral kernel $K$ called the correlation kernel. We consider a pair of Hilbert spaces, $H_{\ell}, \ell=1,2$, which are assumed to be realized as $L^2$-spaces, $L^2(S_{\ell}, λ_{\ell})$, $\ell=1,2$, and introduce a bounded linear operator ${\cal W} : H_1 o H_2$ and its adjoint ${\cal W}^{\ast} : H_2 o H_1$. We show that if ${\cal W}$ is a partial isometry of locally Hilbert--Schmidt class, then we have a unique DPP on $(Ξ_1, K_1, λ_1)$ associated with ${\cal W}^* {\cal W}$. In addition, if ${\cal W}^*$ is also of locally Hilbert--Schmidt class, then we have a unique pair of DPPs, $(Ξ_{\ell}, K_{\ell}, λ_{\ell})$, $\ell=1,2$. We also give a practical framework which makes ${\cal W}$ and ${\cal W}^{\ast}$ satisfy the above conditions. Our framework to construct pairs of DPPs implies useful duality relations between DPPs making pairs. For a correlation kernel of a given DPP our formula can provide plural different expressions, which reveal different aspects of the DPP. In order to demonstrate these advantages of our framework as well as to show that the class of DPPs obtained by this method is large enough to study universal structures in a variety of DPPs, we report plenty of examples of DPPs in one-, two-, and higher-dimensional spaces $S$, where several types of weak convergence from finite DPPs to infinite DPPs are given. One-parameter ($d \in \mathbb{N}$) series of infinite DPPs on $S=\mathbb{R}^d$ and $\mathbb{C}^d$ are discussed, which we call the Euclidean and the Heisenberg families of DPPs, respectively, following the terminologies of Zelditch.

연구 동기 및 목표

• Hilbert 공간 간 유계 선형 연산자를 사용하여 쌍대 DPP 쌍을 일반적으로 구성하는 방법을 수립하는 것.
• $\mathcal{W}$ 가 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 로부터 유일한 DPP를 생성할 수 있는 조건과, $\mathcal{W}$ 와 $\mathcal{W}^*$ 가 함께 작용할 때 쌍대 DPP 쌍을 생성할 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 동일한 DPP에 대해 다양한 비동치 커널 표현을 얻을 수 있음을 보여주며, 숨겨진 구조적 대칭성을 드러내는 것.
• 유클리드 공간과 하이젠베르크 공간을 포함한 실수 및 복소수 공간 $\mathbb{R}^d$ 와 $\mathbb{C}^d$ 에서 무한 DPP를 구성함으로써 이 방법의 광범위한 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• Hilbert 공간 $H_\nu = L^2(S_\nu, \lambda_\nu)$ 간의 유계 선형 연산자 $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$ 를 사용하며, $\mathcal{W}$ 는 국소 힐버트-슈미트 부분 등장사상으로 간주된다.
• 연결성 커널 $K_1 = \mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 를 통해 $S_1$ 에서 DPP를 구성하며, 커널이 추적 가능하고 양의 정부호임을 보장한다.
• $\mathcal{W}^*$ 또한 국소 힐버트-슈미트이면, $S_2$ 에서 커널 $K_2 = \mathcal{W}\mathcal{W}^*$ 를 갖는 쌍대 DPP가 생성되며, 두 과정 간의 쌍대성 관계를 확립한다.
• 연산자 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 와 $\mathcal{W}\mathcal{W}^*$ 의 스펙트럼 성질을 활용하여 적분 커널의 행렬식을 통한 상관 함수를 정의한다.
• 쌍대성의 특성을 이용해 동일한 DPP에 대해 다수의 다른 커널 표현을 가능하게 하여, 기하학적 및 대수적 특성을 다양한 방식으로 드러낸다.
• 일차원, 이차원 및 고차원에서의 명시적 예시를 통해 구성의 타당성을 검증하며, 유한 DPP에서 무한 DPP로의 약한 수렴도 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 유계 선형 연산자 $\mathcal{W}$ 가 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 를 통해 공간 $S_1$ 에서 DPP를 생성하고, $\mathcal{W}\mathcal{W}^*$ 를 통해 $S_2$ 에서 쌍대 DPP를 생성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 연산자 이론적 조건이 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 로부터 유일한 DPP 존재를 보장하며, $\mathcal{W}$ 와 $\mathcal{W}^*$ 가 함께 작용할 때 쌍대 DPP 쌍의 존재를 보장하는가?
• RQ3 DPP 간의 쌍대성 관계는 동일한 상관 커널에 대해 다수의 비동치 표현을 어떻게 드러내는가?
• RQ4 이 프레임워크를 통해 유클리드 공간과 복소수 공간에서 어떤 보편 DPP 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 $\mathbb{R}^d$ 와 $\mathbb{C}^d$ 에서의 유한 DPP에서 무한 DPP로의 약한 수렴을 기술할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$ 가 국소 힐버트-슈미트 부분 등장사상이라면, 항상 $S_1$ 에서 $K_1 = \mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 를 상관 커널로 갖는 유일한 DPP가 구성된다.
• $\mathcal{W}^*$ 또한 국소 힐버트-슈미트이면, $S_2$ 에서 $K_2 = \mathcal{W}\mathcal{W}^*$ 를 커널로 갖는 쌍대 DPP가 존재하며, 두 점과정 간의 쌍대성 관계가 확립된다.
• 이 프레임워크는 동일한 DPP에 대해 다수의 서로 다른 커널 표현을 가능하게 하여, 쌍대성을 통해 다양한 구조적 및 기하학적 특성을 드러낸다.
• 이 방법은 $\mathbb{R}^d$ 와 $\mathbb{C}^d$ 에서 각각 유클리드 가족과 하이젠베르크 가족으로 불리는 일차 파라미터를 가진 무한 DPP 가족을 생성한다. 이는 젠치치의 용어를 따름.
• 이 프레임워크는 일차원, 이차원 및 고차원 공간에서 유한 DPP에서 무한 DPP로의 약한 수렴을 지원하며, 광범위한 적용 가능성을 보여준다.
• $\mathbb{R}^d$ 와 $\mathbb{C}^d$ 에서의 명시적 예시들은 이 연산자 이론적 구성 방식을 통해 보편 DPP 구조의 존재를 확인한다.