[논문 리뷰] Partial Komori fields and imperative Komori fields

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|ArXiv.org|2009. 09. 29.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 수학자들이 $1/0$를 어떻게 다루는지 분석하기 위해 명령형 Komori 체(field) 개념을 사용한다. 이는 $1/0$를 정의되지 않았다고 보다는 허용되지 않는 것으로 간주하는 관례를 형식화한 것이다. 논문은 마이어의 연결사와 보흐바르의 기호를 사용하는 부분 함수의 논리학조차도 실제로 수학적 추론 방식과 일치하는 방식으로 $1/0$의 잘못된 사용을 차단하지 못하므로, 이러한 논리학이 수학적 관행을 완전히 포괄할 수 없다고 주장한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the status of 1/0 and ways to deal with it. These matters are treated in the setting of Komori fields, also known as non-trivial cancellation meadows. Different viewpoints on the status of 1/0 exist in mathematics and theoretical computer science. We give a simple account of how mathematicians deal with 1/0 in which a customary convention among mathematicians plays a prominent part, and we make plausible that a convincing account, starting from the popular computer science viewpoint that 1/0 is undefined, by means of some logic of partial functions is not attainable.

연구 동기 및 목표

• 수학적 관행에서 $1/0$를 정의되지 않았다고 보는 것이 아니라 허용되지 않는 것으로 간주하는 관례를 명확히 하기 위해.
• 부분 함수의 논리학이 실제로 수학자들이 $1/0$를 어떻게 추론하는지 유감없이 모델링할 수 있는지 조사하기 위해.
• 이 관례를 이해하기 위한 프레임워크로 '명령형 Komori 체'의 개념을 형식화하기 위해.
• 정의되지 않은 표현을 포함하는 수학적 추론을 모델링하기 위해 삼가oz값 논리학—특히 마이어의 연결사와 보흐바르의 기호를 포함한 것—의 적합성을 평가하기 위해.
• 부분 함수의 논리학이 비록 가장 타당한 형태이더라도, $1/0$를 다룰 때 수학적 관행과 완전히 일치하지 못함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 컴퓨터 과학적 관점에서 $1/0$가 정의되지 않음을 모델링하기 위해 나눗셈이 부분 함수인 부분 Komori 체를 도입한다.
• 표현에서 $1/0$의 사용을 금지하는 관례를 추가함으로써 Komori 체를 확장하여 명령형 Komori 체를 정의한다.
• 삼가oz값 논리학(보흐바르, 클린, 마이어)을 적용하여 $1/0$를 포함하는 공식의 진리값과 기호의 행동을 평가한다.
• 약한 등식과 이진 논리 관례를 사용하여 비불리언 진리값을 가진 공식을 걸러내어 수학적 관행과 일치시키려 한다.
• 다양한 논리학에서 핵심 공식들(예: $0 \neq 0 \to 0/0 = 1$)의 진리값을 비교하여 그들의 수학적 직관과의 일치 정도를 평가한다.
• ${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$를 제안한다. 이는 마이어의 연결사와 보흐바르의 기호, 그리고 이진 논리 관례를 조합한 부분 메도우의 논리학으로, 수학적 추론에 가장 가까운 근사치이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수학자들은 수학적 관행에서 표현 $1/0$를 어떻게 관례적으로 다루는가?
• RQ2 부분 함수의 논리학이 수학자들이 $1/0$를 어떻게 추론하는지 적절히 모델링할 수 있는가?
• RQ3 정의되지 않은 표현에 대한 수학적 관행을 형식화하는 데 있어 '명령형' 관례의 역할은 무엇인가?
• RQ4 다양한 삼가oz값 논리학(보흐바르, 클린, 마이어)은 $1/0$를 포함하는 공식을 어떻게 평가하는가?
• RQ5 왜 비록 가장 정교한 부분 함수의 논리학이라도 $1/0$를 다루는 수학적 추론에 대해 설득력 있는 설명을 제공하지 못하는가?

주요 결과

• 수학자들은 $1/0$에 의미를 부여하지 않으며, 대신 관례에 따라 표현에서 $1/0$의 사용을 금지한다. 이는 명령형 Komori 체를 통해 형식화된다.
• 수학적 관행에서 공식 $0 \neq 0 \to 0/0 = 1$는 참으로 간주되며, 이는 마이어와 클린의 연결사에 의해 정확히 반영되지만 보흐바르의 연결사에선 반영되지 않는다.
• 장점이 있음에도 불구하고, ${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$—마이어의 연결사와 보흐바르의 기호를 사용하는 논리학—는 $0=0 \lor 0/0=1$에 대해 진리값 ${\mathsf{T}}$를 부여한다. 이는 수학적 관행과 모순된다.
• ${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$가 $1/0$의 잘못된 사용을 차단하지 못함으로써, 부분 함수의 논리학이 수학적 추론에서의 비공식적이지만 일관된 관례를 완전히 포괄할 수 없다는 것이 드러난다.
• 비불리언 진리값을 가진 문장의 허용을 금지하는 이진 논리 관례는 문제를 해결하지 못한다. 이는 의미적으로 잘못된 공식의 수용을 막을 수 없기 때문이다.
• 따라서 이 논문은 부분 함수의 논리학이 심지어 강력한 의미론적 제약을 추가하더라도, 수학자들이 $1/0$를 다루는 방식에 대해 설득력 있는 설명을 제공할 수 없다고 결론짓는다.