[논문 리뷰] Partial monoids: associativity and confluence

Laurent Poinsot, Gérard Duchamp외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 10.

semigroups and automata theory참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 부분 모노이드에서의 결합법칙과 관련된 문자열 재작성 체계에서의 확장성 사이의 정확한 대응 관계를 수립한다. 왼쪽 표준 감소 전략을 도입하여 유일한 정규형을 보장하고, 이에 의해 유도된 정규형 상의 곱셈이 결합법칙을 만족하는 것은 오직 재작성 체계가 확장성을 갖는 경우에 한하여 성립함을 증명함으로써, 대수적 결합법칙과 계산적 확장성 간의 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

A partial monoid $P$ is a set with a partial multiplication $ imes$ (and total identity $1_P$) which satisfies some associativity axiom. The partial monoid $P$ may be embedded in a free monoid $P^*$ and the product $\star$ is simulated by a string rewriting system on $P^*$ that consists in evaluating the concatenation of two letters as a product in $P$, when it is defined, and a letter $1_P$ as the empty word $ε$. In this paper we study the profound relations between confluence for such a system and associativity of the multiplication. Moreover we develop a reduction strategy to ensure confluence and which allows us to define a multiplication on normal forms associative up to a given congruence of $P^*$. Finally we show that this operation is associative if, and only if, the rewriting system under consideration is confluent.

연구 동기 및 목표

• 부분 모노이드에서의 결합법칙과 그에 관련된 문자열 재작성 체계에서의 확장성 간의 깊은 연결 고리를 조사하기 위해.
• 원래의 재작성 체계가 확장성이 없더라도 유일한 정규형을 보장하는 감소 전략을 개발하기 위해.
• 정규형 상에 정의된 총 이진 연산이 모노이드 동치 관계에 대해 결합법칙을 만족하도록 정의하기 위해.
• 이 연산이 결합법칙을 만족하는 것은 오직 재작성 체계가 확장성일 경우에 한하여 성립함을 증명하기 위해.
• 오류가 있는 순차 프로그램을 위한 계산 모델을 제공하기 위해, 오직 정의된 곱만 평가되고 오류는 계산 불가능한 부분항으로 고립됨을 보장하기 위해.

제안 방법

• 프로그램을 단어로 모델링하기 위해 부분 모노이드 $P$를 자유 모노이드 $P^*$에 매립하기 위해.
• 정의된 곱 $x \times y$를 단일 문자로 평가하고 항등원 $1_P$를 $\epsilon$으로 줄이는 $P^*$ 상의 문자열 재작성 체계 $R$를 정의하기 위해.
• 정의된 곱의 왼쪽에서 가장 먼저 감소시키는 것을 우선시함으로써 유일한 정규형을 보장하는 왼쪽 표준 감소 전략을 도입하기 위해.
• 기약어에서 유도된 비결합법칙 마그마 $({\mathsf{Irr}}(P), \star)$를 구성하고, 항목을 정규형 연산으로 매핑하는 평가 준동형사상을 정의하기 위해.
• 결합법칙 이동을 시뮬레이션하기 위해 두 번째 재작성 체계 $\Rightarrow_{\mathsf{Ass}}$를 사용하며, 이는 모노이드 범주에서의 오각형 항등식을 모델링한다.
• 비판 쌍을 분석하여 재작성 체계 $R$의 확장성을 증명하고, 그 수렴성이 $\star$의 결합법칙과 동치임을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 모노이드와 관련된 문자열 재작성 체계가 어떤 조건에서 확장성이 있는가?
• RQ2 재작성 체계가 확장성이 없더라도 $P^*$의 단어들에 대해 유일한 정규형을 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ3 정규형 상에 정의된 이진 연산 $\star$가 재작성 체계가 확장성일 경우에만 결합법칙을 만족하는가?
• RQ4 재작성 체계의 비판 쌍의 구조가 부분 모노이드에서의 결합법칙 위반과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 부분 모노이드에서의 대수적 결합법칙 개념이 그에 관련된 재작성 체계의 확장성에 의해 얼마나 정확히 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 정규형 상의 연산 $\star$가 결합법칙을 만족하는 것은 오직 재작성 체계 $R$가 확장성일 경우에 한하여 성립한다.
• 왼쪽 표준 감소 전략은 $R$가 확장성이 없더라도 모든 단어가 유일한 정규형을 갖도록 보장한다.
• $R$의 확장성은 유형 (A0)의 비판 쌍이 존재하지 않을 때와 동치이며, 이는 결합법칙 위반과 대응된다.
• 평가 준동형사상 $\mathsf{ev}$는 $\Rightarrow_{\mathsf{Ass}}^*$ 하에서 동치를 유지하므로, 서로 다른 괄호화 방식이 Thue 동치 관계에 대해 동치 결과를 낳는다.
• 재작성 체계 $R$가 확장성일 경우, 정규형의 집합 $\mathsf{Irr}(P)$는 $P^* / \Leftrightarrow_R^*$ 와 동형이며, 이는 범주론적 동치를 수립한다.
• 이 구성은 모노이드 범주의 일관성 정리의 일반화이며, 괄호 이동의 체계를 사용하여 결합법칙을 시뮬레이션한다.