[논문 리뷰] Partiality, Revisited: The Partiality Monad as a Quotient Inductive-Inductive Type

Thorsten Altenkirch, Nils Anders Danielsson외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 28.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 17인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 가산 선택을 필요로 하지 않는 부분 계산을 모델링하는 데 사용되는 몰입형 유형(quotient inductive-inductive type, QIIT) 기반의 부분성 모나드를 소개한다. 이는 Capretta의 지연 모나드의 핵심적 한계를 해결한다. 고차형 유형-유형 유형 구성(higher inductive-inductive construction)를 통해 약한 동치 관계(weak bisimilarity)를 직접 등등의 등가성으로 통합함으로써, 구성적이고 몰입형 기반의 부분성 모나드를 달성하였으며, 이는 가산 선택 조건 하에서 몰입된 지연 모나드와 동치이다.

ABSTRACT

Capretta's delay monad can be used to model partial computations, but it has the "wrong" notion of built-in equality, strong bisimilarity. An alternative is to quotient the delay monad by the "right" notion of equality, weak bisimilarity. However, recent work by Chapman et al. suggests that it is impossible to define a monad structure on the resulting construction in common forms of type theory without assuming (instances of) the axiom of countable choice. Using an idea from homotopy type theory - a higher inductive-inductive type - we construct a partiality monad without relying on countable choice. We prove that, in the presence of countable choice, our partiality monad is equivalent to the delay monad quotiented by weak bisimilarity. Furthermore we outline several applications.

연구 동기 및 목표

• 가산 선택을 가정하지 않고도 약한 동치 관계를 등가성으로 정확히 모델링하는 부분성 모나드를 구축하는 것.
• 집합체 기반 몰입과 '집합체 난리(setoid hell)'를 피하기 위한 유형 이론의 한계를 극복하는 것.
• 그러나 가산 선택이 필요로 하는 몰입된 지연 모나드에 대한 구성적 대안을 제공하는 것.
• 의존적 유형 이론에서 비종료 프로그램에 대해 정확한 등가성과 정보 은폐를 갖춘 추론을 가능하게 하는 것.
• 유형 이론 내에서 구성적 도메인 이론과 운영 의미 이론의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 약한 동치 관계(약한 동치)를 동시에 정의하는 고차형 유형-유형 유형(HIIT)을 구성한다.
• 몰입형 유형-유형 유형(QIIT)의 구조를 사용하여 약한 동치 관계를 모나드 내에서 정의적 등가성으로 내재화한다.
• 공현성 생성자(coinductive constructors)를 사용하여 모나드를 정의한다: 'now'는 즉각적인 결과를, 'later'는 지연된 계산을 나타낸다.
• 모든 연산이 약한 동치 관계를 자연스럽게 유지하도록 구성함으로써, 명시적 증명 의무를 피한다.
• 호모토피 유형 이론 기법을 활용하여 몰입을 직접적으로 유형 정의에 통합함으로써 외부 몰입 메커니즘에 의존하지 않도록 한다.
• 가산 선택 조건 하에서 결과 모나드가 몰입된 지연 모나드와 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 선택을 가정하지 않고도, 약한 동치 관계로 동치로 간주되는 계산을 정확히 식별하는 부분성 모나드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 약한 동치 관계로 지연 모나드를 몰입할 때, 가산 선택 없이도 모나드 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ3 몰입형 유형-유형 유형이 구성적 유형 이론에서 등가성을 내재화하고 집합체 난리를 피할 수 있는가?
• RQ4 제안된 모나드는 표준 지연 모나드와 그 몰입된 변형과 비교해 볼 때 등가성과 계산 행동 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 이 구성은 의존적 유형 이론 내에서 구성적 도메인 이론과 운영 의미 이론에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 부분성 모나드는 몰입형 유형-유형 유형으로 구성되어 있어 가산 선택이 필요로 하지 않는다.
• 가산 선택 조건 하에서 몰입된 지연 모나드와 동치이므로, 그 정확성이 검증된다.
• 구성은 자연스럽게 약한 동치 관계를 등가성으로 지원하여 원래의 지연 모나드의 내부성 문제(intensionality problem)를 해결한다.
• 등가성을 유형 구조에 통합함으로써 '집합체 난리'를 피하고, 정보 은폐와 모듈화된 추론을 가능하게 한다.
• 기존에 표준 구성적 환경에서 계산이 불가능한 연속 함수들, 예를 들어 'isPositive'와 같은 함수를 몰입된 실수 위에서 정의할 수 있다.
• 이 방법은 구성적 환경에서 정의적 인터프리터, 타입 타당성 증명, 컴파일러 정당성 결과를 구축하는 데 기여한다.