[논문 리뷰] Partially hyperbolic diffeomorphisms with uniformly center foliation: the quotient dynamics

Doris Bohnet, Christian Bonatti|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 중심 리파티션의 균일하게 컴act한 경우 부분적으로 초구형 미분형사의 동역학적 분해가 성립하며, 중심 리파티션의 동치류 공간 위에서 유도된 동역학이 색인 성질을 갖는다는 것을 입증한다. 또한, 체인 재진입 집합 내에서 주기적인 중심 리파티션의 밀도가 있음을 증명하여, 유일한 적분 가능성의 부재에도 불구하고 어떤 형태의 위상적 초구형 성질이 존재함을 드러낸다.

ABSTRACT

We show that a partially hyperbolic $C^1$ -diffeomorphism $f : M o M$ with a uniformly compact $f$ -invariant center foliation $F^c$ is dynamically coherent. Further, the induced homeomorphism $F : M/F^c o M/F^c$ on the quotient space of the center foliation has the shadowing property, i.e. for every $\varepsilon> 0$ there exists $δ> 0$ such that every $δ$-pseudo orbit of center leaves is $\varepsilon$-shadowed by an orbit of center leaves. Although the shadowing orbit is not necessarily unique, we prove the density of periodic center leaves inside the chain recurrent set of the quotient dynamics. Some other interesting properties of the quotient dynamics are discussed.

연구 동기 및 목표

• 균일하게 컴팩트하고 f-불변인 중심 리파티션을 가진 부분적으로 초구형 미분형사에 대한 동역학적 분해성을 확립하기 위해.
• 중심 리파티션에 의해 유도된 몫 공간 M/ℱᶜ의 위상적 동역학을 분석하기 위해.
• 몫 동역학이 색인성과 주기 궤도의 밀도와 같은 초구형 유사 성질을 갖는지 조사하기 위해.
• 강한 컴팩트성 조건 하에서 중심 리파티션의 유일한 적분 가능성 여부를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 작은 C¹-편미를 고려할 때 중심 리파티션의 구조적 안정성을 보장하기 위해 플라크 전개 조건을 사용하기 위해.
• 몫 공간 내 중심 리파티션의 가짜 궤도에 대해 색인 보조정리를 적용하기 위해.
• 안노소프 맵의 주기 점을 이용해 가짜 궤도를 구성함으로써, 몫 공간 내에서 안정/불안정 다발의 비유일성을 입증하기 위해.
• 몰입 공간 M/ℱᶜ 위의 몫 위상을 정의하기 위해 하우스도르프 거리를 사용하여 몫 공간의 컴팩트성을 보장하기 위해.
• 몫 공간 내 궤도의 渐近적 행동을 분석하여, 양의 및 음의 궤도가 동일한 안정 또는 불안정 다발에 있지 않더라도 수렴할 수 있음을 보여주기 위해.
• 에프슈타인(1976)의 유한 휘전 그룹에 관한 결과를 활용하여 균일하게 컴팩트한 리파티션을 정의하고 몫의 정규성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일하게 컴팩트한 중심 리파티션을 가진 부분적으로 초구형 미분형사가 반드시 동역학적 분해를 갖는가?
• RQ2 중심 리파티션의 몫 공간 M/ℱᶜ 위에서 가짜 궤도에 대해 색인 성질이 만족되는가?
• RQ3 몫 시스템의 체인 재진입 집합 내에서 주기적인 중심 리파티션의 밀도는 어떻게 되는가?
• RQ4 동일한 중심 번들에 대해 두 개 이상의 서로 다른 불변 중심 리파티션은 균일 컴팩트성 조건 하에서 존재할 수 있는가?
• RQ5 유일한 적분 가능성의 부재에도 불구하고, 몫 동역학이 초구형 유사 행동을 어느 정도 유지하는가?

주요 결과

• 중심 리파티션이 균일하게 컴팩트하고 f-불변일 경우, 미분형사는 동역학적으로 분해 가능하다.
• 몫 공간 M/ℱᶜ 위의 유도된 호메오모르피즘 F는 색인 성질을 만족한다: 중심 리파티션의 모든 δ-가짜 궤도는 진짜 궤도에 의해 ε-색인된다.
• 주기적인 중심 리파티션은 몰입 동역학의 체인 재진입 집합 내에서 밀도를 이룬다. 다만, 색인 궤도가 반드시 유일하지는 않다.
• 어떤 예에서는 중심 리파티션 궤도가 몰입 공간 내에서 양의 및 음의 방향으로 수렴하지만, 동일한 안정 또는 불안정 다발에 있지 않아, 표준 초구형 특성의 붕괴를 나타낸다.
• 몰입 공간 M/ℱᶜ는 하우스도르프 거리에 의해 컴팩트한 메트릭 공간이 되며, 이는 몰입 동역학의 위상 정규성을 보장한다.
• 논문은 중심 리파티션의 유일한 적분 가능성 문제를 열어두었으며, 강력한 컴팩트성 조건 하에서도 여러 개의 서로 다른 리파티션이 존재할 수 있음을 시사한다.