[논문 리뷰] Partially wrapped Fukaya categories of simplicial skeleta

Ludmil Katzarkov, Gabriel Kerr|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 단순 복합체로 모델링된 특이 라그랑주 스켈레톤을 가진 정확한 심플렉틱 다양체에 대해 부분적으로 감싸인 후카야 분류의 새로운 구성법을 제안한다. 이러한 분류와 비완전 토릭 다양체(예: 아핀 및 준사영 토릭 다양체) 위의 코herent sheaf의 유도 범주 사이의 호모로지 미러 대칭 동치를 정의함으로써, 비콤팩트 및 비사영 경우에 대한 플로어 이론적 미러를 제공하며, 기존의 완전 사례를 넘어서 호모로지 미러 대칭을 확장한다.

ABSTRACT

A class of partially wrapped Fukaya categories in $T^* N$ are proven to be well defined and then studied. In the case of $N$ diffeomorphic to $\mathbb{R}^m imes \mathbb{T}^n$, it is shown that these categories provide homological mirrors to equivariant and non-equivariant categories of coherent sheaves on toric varieties. This gives a new Floer theoretic formulation of mirror symmetry in the non-complete case.

연구 동기 및 목표

• 정확한 심플렉틱 다양체에 대해 특이 라그랑주 스켈레톤을 가진 부분적으로 감싸인 후카야 분류를 정의하고 철저히 구성한다.
• 이러한 심플렉틱 분류와 비콤팩트 토릭 다양체 위의 코herent sheaf의 유도 범주 사이의 호모로지 미러 대칭 동치를 수립한다.
• 완전하거나 사영적인 경우를 초월하여, 아핀 및 준사영 토릭 다양체를 포함한 비콤팩트 사례로도 미러 대칭을 확장한다.
• 단일 구성법을 통해 GIT 몫과 그 구성 요소의 통합된 심플렉틱 프레임워크를 제공한다.
• 라그랑주-긴즈부르크 모델이 존재하지 않을 때도 부분적으로 감싸인 후카야 분류가 코herent sheaf의 유도 범주를 포괄함을 보여준다.

제안 방법

• 운동 에너지 함수의 매끄러운 왜곡을 사용한 해밀토니안을 정의함으로써 부분적으로 감싸인 후카야 분류를 정의하며, 적절한 조건을 완화한다.
• M → Z의 메트릭 기울기 투영 π를 사용하여 특이 스켈레톤 Z의 매끄러운 점 위의 라그랑주 섬유를 정의한다.
• 단순 복합체 K의 조합 구조를 통해 특이점 근처의 국소 분류 W(K)를 특성화한다.
• 국소 분류 W(K)로부터 구성된 코층의 전역 단면으로서 전역 분류 W_H^Z(M)를 구성한다.
• 토릭 다양체에 이 구성법을 적용하기 위해, 미러 스켈레톤을 T*ℝ^n에서 실현하고, ℤ^n 작용을 통해 T*𝕋^n로 올린다.
• K-단항 범주와 와이어드 복합체를 사용하여 거울 사상, 특히 비자명한 콘 및 정확한 코즐 복합체를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 심플렉틱 다양체에 특이 라그랑주 스켈레톤을 가진 부분적으로 감싸인 후카야 분류를 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 분류가 비사영 토릭 다양체 위의 코herent sheaf의 유도 범주에 대한 호모로지 미러를 제공하는가?
• RQ3 라그랑주-긴즈부르크 모델이 존재하지 않는 아핀 및 준사영 토릭 다양체에 대해서도 미러 대칭 동치가 성립하는가?
• RQ4 스켈레톤 Z 위의 코층 구조가 국소 자료로부터 전역 심플렉틱 분류를 어떻게 캡처하는가?
• RQ5 K-단항 범주와 와이어드 복합체는 f[1]과 같은 거울 사상의 실현에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 지정된 기하학적 및 해밀토니안 조건 하에 단순 복합체 라그랑주 스켈레톤을 가진 다양체에 대해 부분적으로 감싸인 후카야 분류 W_H^Z(M)는 잘 정의되어 있다.
• N ≅ ℝ^m × 𝕋^n 이면, 분류 W_H^Z(U_Σ)는 D^b(X_Σ)와 동치이며, 이는 비완전 토릭 다양체에 대한 호모로지 미러 대칭을 증명한다.
• ℂ²∖{0}의 거울은 T*ℝ² 내의 세 개의 스트라타를 가진 스켈레톤 L_K를 통해 실현되며, 그 부분적으로 감싸인 분류는 국소 동차 유도 범주 D^eq_loc(ℂ²∖{0})와 동치이다.
• 동차 범주 D^eq(ℂ²∖{0})의 거울은 T*ℝ² 내의 ℤ²-불변 스켈레톤 L_K_eq를 통해 실현되며, 분류 W(K_eq)는 D^eq(ℂ²∖{0})와 동치이다.
• 일반적인 유도 범주 D(ℂ²∖{0})의 거울은 T*𝕋² 내의 몫 π(L_K)를 통해 실현되며, W_𝕋(K)는 D(ℂ²∖{0})와 동치이다.
• D_∅, D_{1}, D_{2}, D_{1,2} 위의 코즐 복합체의 정확성에 의해 거울 범주 내의 사상 f[1]의 존재가 대수적으로 설명된다.