[논문 리뷰] Particle-vortex duality of 2d Dirac fermion from electric-magnetic duality of 3d topological insulators

Max A. Metlitski, Ashvin Vishwanath|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 19.

Topological Materials and Phenomena인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 3차원 토폴로지적 절연체의 전기-자기 이중성에서 유도된 이중 QED3 이론을 통해 2차원 디랙 페르미온에 대한 입자-소용권 이중성을 제안한다. 이중성은 디랙 페르미온 표면 상태를 잠재적 게이지 장과 결합된 이중 페르미온 이론으로 매핑하며, 전자 생성 연산자는 이중 몰입으로 표현되고 이중 페르미온은 복합 소용권으로 나타난다; 핵심 결과는 시간역전 대칭성과 입자-홀 대칭성을 유지하는 일관된 이중 기술을 통해 이상성을 해결하고 T-Pfaffian 위상 순서를 실현하는 것이다.

ABSTRACT

Particle-vortex duality is a powerful theoretical tool that has been used to study bosonic systems. Here we propose an analogous duality for Dirac fermions in 2+1 dimensions. The physics of a single Dirac cone is proposed to be described by a dual theory, QED3 with a dual Dirac fermion coupled to a gauge field. This duality is established by considering two alternate descriptions of the 3d topological insulator (TI) surface. The first description is the usual Dirac cone surface state. The second description is accessed via an electric-magnetic duality of the bulk TI coupled to a gauge field, which maps it to a gauged topological superconductor. This alternate description ultimately leads to a new surface theory - dual QED3. The dual theory provides an explicit derivation of the T-Pfaffian state, a proposed surface topological order of the TI, which is simply the paired superfluid state of the dual fermions. The roles of time reversal and particle-hole symmetry are exchanged by the duality, which connects some of our results to a recent conjecture by Son on particle-hole symmetric quantum Hall states.

연구 동기 및 목표

• 3차원 토폴로지적 절연체의 2차원 디랙 페르미온 표면 상태와 잠재적 게이지 장을 가진 이중 QED3 이론 간의 이중성을 수립한다.
• 큰 게이지 변환을 제한하여 이중 이론의 이상성을 해결함으로써 시간역전 대칭성과의 일관성을 확보한다.
• 이중 페르미온의 쌍화 초유체 상태로서 T-Pfaffian 위상 순서가 자연스럽게 나타남을 보여준다.
• 기존 알려진 보존 이중성과 유사한 방식으로, 디랙 페르미온에 확장된 입자-소용권 이중성의 역할을 명확히 한다.
• 전자 연산자가 이중 몰입으로, 이중 페르미온이 전자에 결합된 복합 소용권으로 매핑됨을 보여준다.

제안 방법

• 3차원 토폴로지적 절연체의 부피에 U(1) 게이지 장을 연결한 전기-자기 이중성을 적용하여, 이를 게이지된 토폴로지적 초전도체로 매핑함으로써 이중 이론을 유도한다.
• 유도된 부피 이중성을 바탕으로, 이중 디랙 페르미온이 잠재적 게이지 장 $a_\mu$ 와 결합된 QED3로 묘사되는 이중 표면 이론을 구성한다.
• 전자 생성 연산자 $\Psi_e$ 는 이중 이론에서 $4\pi$의 스트림을 도입하는 이중 몰입 연산자로 식별된다.
• 이중 페르미온 $\psi_{cf}$ 는 전자에 결합된 소용권으로서 복합 물체임을 보이며, $2hc/e$의 스트림을 가지며, 분수 큇홀 효과의 복합 페르미온과 유사하다.
• 이중 이론에서 큰 게이지 변환은 $\theta$-각도 표현을 사용하여 구현되며, 시간역전 대칭성과 이상성 상쇄와의 일관성을 유지하기 위해 제한된다.
• 허용 가능한 큰 게이지 변환은 표준 QED3와 다름: $\theta_2 \sim \theta_2 + 4\pi$ 만 허용되고 $\theta_1 \sim \theta_1 + 2\pi$ 는 유지되며, 이는 3차원 고체 토러스의 위상에 기인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자-소용권 이중성은 어떻게 보존계에서의 이중성에서 2차원 디랙 페르미온으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 3차원 토폴로지적 절연체의 부피에서 전기-자기 이중성이 적용되었을 때, 표면 디랙 콘의 이중 기술은 무엇인가?
• RQ3 시간역전 대칭성과 페어리티 이상성과 관련된 이상성은 이중 이론에서 어떻게 해결되는가?
• RQ4 이중 페르미온 $\psi_{cf}$ 는 전자 자유도의 관점에서 어떻게 물리적으로 해석될 수 있는가?
• RQ5 이중 QED3 이론에서 큰 게이지 변환은 표준 2+1차원 QED3와 어떻게 다를까? 그 물리적 기원은 무엇인가?

주요 결과

• 이중 이론은 잠재적 게이지 장 $a_\mu$ 와 연결된 단일 디랙 페르미온을 가진 QED3이며, 원래 디랙 콘과 동일한 힐베르트 공간을 묘사한다.
• 전자 생성 연산자 $\Psi_e$ 는 이중 이론에서 $4\pi$ 스트림을 도입하는 이중 몰입 연산자로 매핑되며, 전하 양자화와 일관된다.
• 이중 페르미온 $\psi_{cf}$ 는 전자에 결합된 복합 소용권으로 식별되며, $2hc/e$ 스트림을 가지며, 시간역전에서 $T:\psi_{cf} \to \psi_{cf}^\dagger$ 로 변환된다.
• T-Pfaffian 위상 순서는 이중 페르미온의 쌍화 초유체 상태로서 나타나며, 3차원 토폴로지적 절연체의 표면 위상 순서의 미세한 실현을 제공한다.
• 허용 가능한 큰 게이지 변환은 제한된다: $\theta_2 \to \theta_2 + 4\pi$ 만 허용되고 $\theta_1 \to \theta_1 + 2\pi$ 는 유지되며, 이는 시간역전 대칭성과 이상성 상쇄와의 일관성을 확보한다.
• 이 제한은 3차원 고체 토러스의 부피 위상에 기인하며, $y$-사이클은 수축 가능하고 $x$-사이클은 수축 불가능하여 $\theta_2$ 가 $2\pi$ 만큼 돌면 비정수의 이중입자 수 $N_D = -1/2$ 가 되며, 이는 시스템이 초기 상태로 되돌아오지 못하게 한다.