[논문 리뷰] Partition dimension and strong metric dimension of chain cycle

Talmeez Ur Rehman, Naila Mehreen|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 18.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 짝수 또는 홀수 사이클을 순차적으로 연결하여 형성된 체인 사이클의 분할 차원과 강한 거리 차원을 결정한다. 강한 해소 그래프와 정점 커버 이론을 사용하여 정확한 공식을 유도하며, 강한 거리 차원이 강한 해소 그래프의 정점 커버 수와 같음을 보여주고, 사이클의 홀짝성과 크기에 따라 닫힌 형태의 표현식을 제시한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph with vertex set $V(G)$ and edge set $E(G)$. For an ordered $k$-partition $Π=\{Q_1,\ldots,Q_k\}$ of $V(G)$, the representation of a vertex $v \in V(G)$ with respect to $Π$ is the $k$-vectors $r(v|Π)=(d(v,Q_1),\ldots,d(v,Q_k))$, where $d(v,Q_i)$ is the distance between $v$ and $Q_i$. The partition $Π$ is a resolving partition if $r(u|Π) eq r(v|Π)$, for each pair of distinct vertices $u,v \in V(G)$. The minimum $k$ for which there is a resolving $k$-partition of $V(G)$ is the partition dimension of $G$. A vertex $w\in V(G)$ strongly resolves two distinct vertices $u,v \in V(G)$ if $u$ belongs to a shortest $v-w$ path or $v$ belongs to a shortest $u-w$ path. An ordered set $W=\{w_{1},\ldots, w_{t}\}\subseteq V(G)$ is a strong resolving set for $G$ if for every two distinct vertices $u$ and $v$ of $G$ there exists a vertex $w\in W$ which strongly resolves $u$ and $v$. A strong metric basis of $G$ is a strong resolving set of minimal cardinality. The cardinality of a strong metric basis is called strong metric dimension of $G$. In this paper, we determine the partition dimension and strong metric dimension of a chain cycle constructed by even cycles and a chain cycle constructed by odd cycles.

연구 동기 및 목표

• 짝수 또는 홀수 사이클로 구성된 체인 사이클의 분할 차원을 결정하기 위해.
• 연속적으로 연결된 사이클로 형성된 체인 사이클의 강한 거리 차원을 계산하기 위해.
• 사이클의 홀짝성과 크기에 기반하여 강한 거리 차원에 대한 정확한 공식을 수립하기 위해.
• 강한 해소 그래프와 정점 커버의 등가성을 적용하여 결과를 유도하기 위해.

제안 방법

• 연속적인 사이클 간의 정점을 식별하여 체인 사이클을 구성한다.
• 정점들이 최단 경로 위에 있을 경우 상호로 최대 거리에 있는 경우, 체인 사이클의 강한 해소 그래프를 정의한다.
• 정리 1.1을 적용하여 강한 거리 차원을 강한 해소 그래프의 정점 커버 수와 동일시한다.
• 각 사이클에 형성된 경로를 분석하여 강한 해소 그래프의 최소 정점 커버를 식별한다.
• 길이 n−1 또는 n−2인 경로에 대한 최적의 정점 커버 크기를 계산하기 위해 floor 및 ceiling 함수를 사용한다.
• 사이클 유형(짝수/홀수)과 체인 내 위치에 따라 강한 거리 차원에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 사이클로 이루어진 체인 사이클의 분할 차원은 무엇인가?
• RQ2 홀수 사이클로 이루어진 체인 사이클의 분할 차원은 무엇인가?
• RQ3 체인 사이클의 강한 거리 차원은 구성 요소인 사이클의 홀짝성과 크기에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 이러한 체인 사이클에 대해 강한 거리 차원을 강한 해소 그래프의 정점 커버 수를 통해 계산할 수 있는가?
• RQ5 크기가 5 이상인 m개의 홀수 사이클로 이루어진 체인 사이클의 강한 거리 차원에 대한 정확한 공식은 무엇인가?

주요 결과

• 크기가 n_i ≥ 5인 m개의 홀수 사이클로 이루어진 체인 사이클의 강한 거리 차원은 m−1 + ⌊n₁/2⌋ + ⌊nₘ/2⌋ + Σᵢ₌₂^{m−1} ⌊(nᵢ−2)/2⌋이다.
• 짝수 사이클로 구성된 체인 사이클의 분할 차원은 해소 파artitions를 통해 결정되지만, 개요에서는 정확한 값이 명시적으로 계산되지 않았다.
• 홀수 사이클로 구성된 체인 사이클의 강한 거리 차원은 정리 1.1에 따라 그 강한 해소 그래프의 정점 커버 수와 같다.
• 홀수 사이클의 경우, 강한 해소 그래프는 끝부분에 길이 n−1인 경로와 중간 사이클에 길이 n−2인 경로를 포함하며, 각각 정점 커버에 ⌊(n−1)/2⌋ 및 ⌊(n−2)/2⌋개의 정점이 필요하다.
• 강한 해소 그래프의 최소 정점 커버는 각 사이클에서 특정 정점을 선택하여 구성된다: i=2부터 m−1까지의 v¹₁ 및 vⁱ₂, 그리고 경로를 따라 분산된 정점들.
• 유도된 공식은 강한 거리 차원이 사이클의 수에 따라 선형으로 증가하고, 사이클 크기에 따라 홀짝성에 따라 비선형적으로 증가함을 확인한다.