[논문 리뷰] Partition Functions of Matrix Models as the First Special Functions of String Theory I. Finite Size Hermitean 1-Matrix Model

A. Alexandrov, А. Миронов외 1명|arXiv (Cornell University)|2003. 10. 12.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 15인용 수 100

한 줄 요약

이 논문은 유한 크기 힐베르트 1행렬 모델의 분할 함수를 끈 이론에서의 기본 특수함수로 간주하고, 고전적 특수함수들과 유사하게 다루는 것을 제안한다. 이는 D-모듈 구조를 분석하고, 바이러소 제약 조건을 도출하며, 다중 루프 상관함수와 전위함수를 계산하여, 끈 이론에서 매트릭스 모델의 분할 함수를 체계적인 방법으로 연구하기 위한 기초를 마련한다.

ABSTRACT

Even though matrix model partition functions do not exhaust the entire set of tau-functions relevant for string theory, they seem to be elementary building blocks for many others and they seem to properly capture the fundamental symplicial nature of quantum gravity and string theory. We propose to consider matrix model partition functions as new special functions. This means they should be investigated and put into some standard form, with no reference to particular applications. At the same time, the tables and lists of properties should be full enough to avoid discoveries of unexpected peculiarities in new applications. This is a big job, and the present paper is just a step in this direction. Here we restrict our consideration to the finite-size Hermitean 1-matrix model and concentrate mostly on its phase/branch structure arising when the partition function is considered as a D-module. We discuss the role of the CIV-DV prepotential (as generating a possible basis in the linear space of solutions to the Virasoro constraints, but with a lack of understanding of why and how this basis is distinguished) and evaluate first few multiloop correlators, which generalize semicircular distribution to the case of multitrace and non-planar correlators.

연구 동기 및 목표

• 매트릭스 모델의 분할 함수를 특정 응용에 관계없이 끈 이론에서 기본 특수함수로 정립하기 위해.
• 유한 크기 힐베르트 1행렬 모델을 이러한 특수함수의 프로토타입으로 분석하기 위해.
• 바이러소 제약 조건 하에서 분할 함수의 D-모듈 구조와 그 해공간을 조사하기 위해.
• 다중 루프 상관함수, 전위함수, 생성함수와 같은 핵심 양을 계산하고 표로 정리하여 향후 참고 자료로 활용하기 위해.

제안 방법

• 유한 크기 힐베르트 1행렬 모델에서 바이러소 제약 조건의 D-모듈 해로서 분할 함수를 수학적으로 형식화하기 위해.
• 직교 다항식 기법을 사용하여 가우시안 다중 밀도와 상관함수에 대한 재귀 관계를 유도하기 위해.
• 기브탈 스타일 분해와 적분 표현(예: 라플라스 변환, 경로 적분)을 활용하여 이중점 리졸베ント을 표현하기 위해.
• 조화 진동자 행렬 원소와 생성함수를 사용하여 밀도와 상관함수의 명시적 표현을 계산하기 위해.
• 바이러소 제약 조건의 해공간에서 CIV-DV 전위함수를 기저로 삼는 후보로 분석하기 위해.
• 연속 근사 극한을 평가하고, 일반화된 콘체비치 모델과 같은 다른 매트릭스 모델과의 연결 고리를 규명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매트릭스 모델의 분할 함수는 어떻게 체계적으로 분류되고 표로 정리되어 끈 이론에서 새로운 특수함수로 간주될 수 있는가?
• RQ2 유한 크기 힐베르트 1행렬 모델에서 바이러소 제약 조건의 해공간의 구조는 어떠한가?
• RQ3 왜 CIV-DV 전위함수는 해공간의 기저로 두드러지게 나타나며, 그 물리적 또는 수학적 의미는 무엇인가?
• RQ4 다중 트레이스 및 비플라너 상호작용 존재 시 다중 루프 상관함수는 반원형 분포를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 가우시안 및 비가우시안 분할 함수의 명시적 해석적 형태와 전개식은 무엇이며, 그 전위함수와 생성함수의 형태는 어떠한가?

주요 결과

• 유한 크기 힐베르트 1행렬 모델의 분할 함수는 바이러소 제약 조건의 D-모듈 해로서, 종수와 결합 상수에 의해 매개되는 풍부한 해의 구조를 지닌다.
• 첫 번째 몇 개의 다중 루프 상관함수는 명시적으로 계산되었으며, 이는 비플라너 및 다중 트레이스 상관함수로 반원형 분포를 일반화한 것이다.
• 경로 적분과 생성함수를 사용하여 이중점 리졸베ント에 대한 폐쇄형 표현을 유도하였으며, 저차수 N 결과와 일관성이 있다.
• CIV-DV 전위함수는 바이러소 제약 조건의 해공간에서 기저로 삼을 후보로 확인되었지만, 그 두드러진 역할은 아직 설명되지 않았다.
• 가우시안 다중 밀도와 상관함수에 대한 명시적 재귀 관계와 해석적 표현이 제공되었으며, 이는 N 전개 및 전위함수의 t 전개를 포함한다.
• 이중점 상관계수의 생성함수는 하이퍼기하급수 유사 급수와 경로 적분을 통해 표현되었으며, N=3까지의 일관성이 검증되었다.