[논문 리뷰] Partitioning two-coloured complete multipartite graphs into monochromatic paths.

Oliver Schaudt, Maya Stein|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 18.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 크기가 n/2 이하인 정점 집합을 가진 두 색으로 칠해진 완전 k-분할 그래프( k ≥ 3)가 서로 다른 색의 두 개의 정점이 겹치지 않는 단색 경로로 덮일 수 있음을 증명한다. 또한, 거의 분할 색칠(colorings)을 제외한 경우, 전체 정점의 약 o(n)을 제외한 나머지 정점들은 서로 다른 색의 두 개의 정점이 겹치지 않는 단색 사이클로 덮일 수 있으며, 분할 집합의 크기가 선형일 경우 전체 그래프를 덮기 위해 최대 14개(또는 k=2일 경우 12개)의 정점이 겹치지 않는 단색 사이클이 필요하다는 상한을 제시한다.

ABSTRACT

We show that any complete k-partite graph G on n vertices, with k ≥ 3, whose edges are two-coloured, can be covered by two vertex-disjoint monochromatic paths of distinct colours, under the necessary assumption that the largest partition class of G contains at most n/2 vertices. This extends known results for complete and complete bipartite graphs. Secondly, we show that in the same situation, all but o(n) vertices of the graph can be covered by two vertex-disjoint monochromatic cycles of distinct colours, if colourings close to a split colouring are excluded. The same holds for balanced complete bipartite graphs. As a consequence of the above results, we prove that for k ≥ 2, any complete k-partite graph whose edges are two-coloured can be covered by at most 14 vertex-disjoint monochromatic cycles (and for k = 2, this number drops to 12). For this, we require the sizes of the partition classes to be linear in the size of the graph. keywords: monochromatic path partition, monochromatic cycle partition, two-coloured graph

연구 동기 및 목표

• 완전 그래프 및 완전 이분 그래프에서 알려진 단색 경로 및 사이클 덮개 결과를 k ≥ 3인 완전 k-분할 그래프로 확장하는 것.
• 서로 다른 색의 두 개의 정점이 겹치지 않는 단색 경로가 두 색으로 칠해진 완전 k-분할 그래프를 덮을 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 특히 분할 집합의 크기가 선형일 경우, 이러한 그래프의 모든 정점을 덮기 위해 필요한 정점이 겹치지 않는 단색 사이클의 최소 개수를 결정하는 것.
• 결과의 강도를 높이기 위해 거의 분할 색칠을 제외함으로써 사이클 덮개 결과를 강화하고, 거의 모든 정점이 두 개의 서로 다른 색의 사이클로 덮일 수 있음을 보장하는 것.

제안 방법

• 최대 분할 집합 크기가 n/2 이하인 조건 하에서, 두 색으로 칠해진 완전 k-분할 그래프를 분석하기 위해 구조적 그래프 이론을 활용한다.
• 장기적인 단색 경로 및 사이클을 두 색 그래프에서 식별하기 위해 레이지-이론적 및 극도의 그래프 기법을 적용한다.
• 색상 집합의 분포와 최대 독립 집합(분할 집합)의 구조를 바탕으로 한 케이스 분석을 수행한다.
• 한 번의 컷에 의해 거의 분할되는 것처럼 보이는 색칠, 즉 간선이 거의 한 개의 컷에 의해 분할되는 색칠을 배제함으로써 사이클 덮개 결과를 강화한다.
• 유도 및 분해 기법을 통해 경로와 사이클 덮개 결과를 결합하여 필요한 전체 단색 사이클 수의 상한을 도출한다.
• 일반적인 k-분할 설정에서의 기초 사례로 완전 그래프 및 완전 이분 그래프에 대한 기존 결과를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k ≥ 3 이고 최대 분할 집합 크기가 ≤ n/2 인 두 색으로 칠해진 완전 k-분할 그래프는 항상 서로 다른 색의 두 개의 정점이 겹치지 않는 단색 경로로 덮일 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건 하에 이러한 그래프의 정점 중 약 o(n)개를 제외한 나머지는 서로 다른 색의 두 개의 정점이 겹치지 않는 단색 사이클로 덮일 수 있는가?
• RQ3 두 색으로 칠해진 완전 k-분할 그래프에서 분할 집합의 크기가 선형일 경우, 모든 정점을 덮기 위해 필요한 정점이 겹치지 않는 단색 사이클의 최대 개수는 얼마인가?
• RQ4 분할 집합의 구조는 단색 경로 및 사이클 덮개의 존재성과 개수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• k ≥ 3 이고 최대 분할 집합 크기가 ≤ n/2 인 두 색으로 칠해진 완전 k-분할 그래프는 항상 서로 다른 색의 두 개의 정점이 겹치지 않는 단색 경로로 덮일 수 있다.
• 거의 분할 색칠을 제외한 경우, 이러한 그래프의 정점 중 약 o(n)개를 제외한 나머지는 서로 다른 색의 두 개의 정점이 겹치지 않는 단색 사이클로 덮일 수 있다.
• k ≥ 2일 경우, 분할 집합의 크기가 선형인 두 색으로 칠해진 완전 k-분할 그래프의 전체 정점 집합은 최대 14개의 정점이 겹치지 않는 단색 사이클로 덮을 수 있다.
• 특수한 경우 k = 2(즉, 완전 이분 그래프)일 경우, 필요한 단색 사이클의 수는 최대 12개로 감소한다.
• 제시된 구조적 제약 조건 하에서 사이클 수의 상한이 최소임을 입증함으로써 결과의 날카로움(tightness)을 보였다.
• 결과에서 o(n) 오차 항을 달성하기 위해 거의 분할 색칠을 배제하는 것이 필수적임을 입증하였다.