[논문 리뷰] Partitions of graphs into small and large sets

Asen Bojilov, Yair Caro외 2명|RECERCAT (Consorci de Serveis Universitaris de Catalunya)|2012. 05. 08.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 그래프에서 k-작은 및 k-크큰 집합을 도입하여, 이러한 집합으로의 최소 분할을 정의하는 파라미터 φₖ(G) 및 Ωₖ(G)를 제시한다. 이들 파라미터는 독립수, 클리크수, 색수와 밀접한 관계를 가지며, φₖ(G) 및 Ωₖ(G)를 위한 선형 시간의 근사 알고리즘을 개발하고, Caro-Wei, Turán, Hansen-Zheng 정리의 보완을 위한 날카운 부등식을 유도한다. 이는 간선 수와 차수 순서에 대한 새로운 상한을 제공한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a graph on $n$ vertices. We call a subset $A$ of the vertex set $V(G)$ \emph{$k$-small} if, for every vertex $v \in A$, $°(v) \le n - |A| + k$. A subset $B \subseteq V(G)$ is called \emph{$k$-large} if, for every vertex $u \in B$, $°(u) \ge |B| - k - 1$. Moreover, we denote by $φ_k(G)$ the minimum integer $t$ such that there is a partition of $V(G)$ into $t$ $k$-small sets, and by $Ω_k(G)$ the minimum integer $t$ such that there is a partition of $V(G)$ into $t$ $k$-large sets. In this paper, we will show tight connections between $k$-small sets, respectively $k$-large sets, and the $k$-independence number, the clique number and the chromatic number of a graph. We shall develop greedy algorithms to compute in linear time both $φ_k(G)$ and $Ω_k(G)$ and prove various sharp inequalities concerning these parameters, which we will use to obtain refinements of the Caro-Wei Theorem, the Turán Theorem and the Hansen-Zheng Theorem among other things.

연구 동기 및 목표

• 독립집합 및 클리크집합의 일반화로서 그래프에서 k-작은 및 k-크큰 집합을 정의하고 분석하는 것.
• k-작은 및 k-크큰 집합으로의 최소 분할 크기인 φₖ(G) 및 Ωₖ(G)를 계산하는 효율적인 근사 알고리즘을 개발하는 것.
• φₖ(G), Ωₖ(G)와 독립수, 클리크수, 색수와 같은 전통적 그래프 파라미터 간의 밀접한 관계를 확립하는 것.
• Caro-Wei, Turán, Hansen-Zheng 정리와 같은 기존 정리를 개선하는 날카운 부등식을 도출하는 것.
• φₖ(G) 및 Ωₖ(G)를 사용하여 간선 수에 대한 새로운 상한 및 하한을 제공하여 고전적 결과를 향상시키는 것.

제안 방법

• k-작은 집합 A는 모든 정점 v ∈ A에 대해 deg(v) ≤ n − |A| + k 를 만족하는 부분집합으로 정의한다. k-크큰 집합 B는 모든 v ∈ B에 대해 deg(v) ≥ |B| − k − 1 를 만족한다.
• φₖ(G)는 정점 집합 V(G)를 k-작은 집합들로 분할할 수 있는 최소 개수로 정의하며, 동일하게 Ωₖ(G)는 k-크큰 집합으로의 최소 분할 수로 정의한다.
• 보완을 통한 이중성: φₖ(G) = Ωₖ(Ḡ) 및 Ωₖ(G) = φₖ(Ḡ) 를 통해 그래프와 그 보완 간의 파라미터 간의 관계를 설정한다.
• 반복적으로 최대 k-작은 또는 k-크큰 집합을 선택함으로써 O(n + m) 시간 내에 φₖ(G) 및 Ωₖ(G)를 계산하는 근사 알고리즘을 개발한다.
• φₖ(G) 및 Ωₖ(G)를 사용하여 간선 수 e(G)에 대한 상한을 도출하며, e(G) ≤ (φₖ(G) − 1)n² / (2φₖ(G)) 와 유사한 부등식을 유도한다.
• α- 및 β-버전의 작은/큰 집합(예: α-작은: ∑₁/(deg(v)+1) ≤ 1)을 도입하고, φₖ^α(G), Ωₖ^α(G) 등과 같은 파라미터를 정의하여 상한을 더욱 정교하게 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k-작은 및 k-크큰 집합은 독립수, 클리크수, 색수와 같은 전통적 그래프 파라미터와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 임의의 그래프 G에 대해 φₖ(G) 및 Ωₖ(G)를 선형 시간 내에 계산할 수 있는 효율적인 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 φₖ(G) 및 Ωₖ(G)를 포함하는 가장 날카운 부등식은 무엇이며, Caro-Wei 및 Turán 정리와 같은 기존 정리를 어떻게 개선하는가?
• RQ4 작은/큰 집합의 α- 및 β-버전은 간선 수 및 차수 순서에 대한 상한을 얼마나 향상시키는가?
• RQ5 부등식 φₖ^β(G) ≤ CW(Ḡ) 는 항상 참인가? 그리고 이는 Caro-Wei 상한과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• φₖ(G) 및 Ωₖ(G)는 반복적으로 최대 k-작은 또는 k-크큰 집합을 선택하는 근사 알고리즘을 통해 O(n + m) 시간 내에 선형 시간에 계산할 수 있다.
• φₖ(G) = Ωₖ(Ḡ) 및 Ωₖ(G) = φₖ(Ḡ) 를 만족하여 그래프와 그 보완 간의 강력한 이중성을 확립한다.
• φₖ(G) ≥ n / (n − d(G)) 라는 부등식이 성립하며, 특히 두 클리크의 조인(union)일 경우 등 특정 구성에서 등호에 가까워진다.
• φₖ(G) < ω(G) 일 때, e(G) ≤ (φₖ(G) − 1)n² / (2φₖ(G)) 라는 상한은 Turán의 고전적 상한을 개선하여 더 날카운 간선 수 추정을 제공한다.
• Caro-Wei 상한에 대해, CW(Ḡ) ≤ φₖ^α(G) ≤ φₖ^β(G) ≤ φₖ(G) 라는 부등식이 성립하며, φₖ^β(G) ≤ CW(Ḡ) 는 추측되나 아직 증명되지 않았다.
• k-작은 집합의 최대 크기 Sₖ(G) 는 Sₖ(G) ≤ Sₖ^α(G) ≤ Sₖ^β(G) ≤ ⌊(n−Δ)/2 + √((n−Δ)²/4 + nΔ − 2e(G))⌋ 를 만족하며, 이는 닫힌 형태의 상한을 제공한다.