[논문 리뷰] Path independence of the additive functionals for McKean-Vlasov stochastic differential equations with jumps

Huijie Qiao, Jiang-Lun Wu|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $L$-측도에 대한 도함수를 포함하는 비선형 부분 적분 미분 방정식을 통해 McKean-Vlasov 확률미분방정식에 대한 덧셈성 기능의 경로 독립성을 확립한다. 저자들은 P.-L. Lions가 도입한 확률측도에 대한 $L$-도함수를 활용하여, 점프를 포함하는 McKean-Vlasov SDE에 대한 새로운 이토 공식을 개발함으로써 기존의 확산 모델 연구를 점프-확산 설정으로 확장한다. 이는 점프 측도와 계수에 대한 일반적인 조건 하에서 성립한다.

ABSTRACT

In this article, the path independent property of additive functionals of McKean-Vlasov stochastic differential equations with jumps is characterised by nonlinear partial integro-differential equations involving $L$-derivatives with respect to probability measures introduced by P.-L. Lions. Our result extends the recent work [16] by Ren and Wang where their concerned McKean-Vlasov stochastic differential equations are driven by Brownian motions.

연구 동기 및 목표

• 확산 기반의 McKean-Vlasov SDE에서 경로 독립성 덧셈성 기능의 특성화를 점프가 있는 경우로 확장한다.
• 기존의 증명을 단순화하고 추상적 확률 공간을 피하는 새로운 McKean-Vlasov SDE에 대한 이토 공식을 개발한다.
• 경로 독립성과 $L$-도함수를 포함하는 비선형 부분 적분 미분 방정식의 해 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 보상 및 왕(2016)의 결과를 보상된 포아송 랜덤 측도를 통합하여 점프-확산 설정으로 일반화한다.
• 일반적인 레비 노이즈를 포함하는 평균장 SDE 및 무한차원 확장에 적용 가능한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• P.-L. Lions가 도입한 확률측도에 대한 $L$-도함수를 사용하여 점프가 있는 McKean-Vlasov SDE에 대한 새로운 이토 공식을 유도한다.
• 비리프시츠 계수를 다루기 위해 $L^2$-와서르슈타인 거리에서의 절단 및 수렴을 통한 극한 근사 방법을 사용한다.
• 덧셈성 기능 $h(t, X_t, \nu_t)$에 이토 공식을 적용하며, 여기서 $\nu_t = \text{Law}(X_t)$이며, 관련된 생성자 방정식을 유도한다.
• 시간, 공간 및 측도 도함수를 포함하는 비선형 부분 적분 미분 방정식을 통해 경로 독립성을 특성화한다.
• 점프를 모델링하기 위해 보정된 포아송 측도 $\tilde{N}(dt, du)$를 사용하며, $\nu$에 대한 모멘트 조건을 통해 적분 가능성을 확보한다.
• $L^2$-와서르슈타인 거리 $\rho^2(\mu_1, \mu_2)$를 사용하여 법의 수렴을 정의하고, 해의 안정성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 McKean-Vlasov SDE에 점프가 있는 경우, 덧셈성 기능이 어떤 조건에서 경로 독립적인가?
• RQ2 확률측도에 대한 $L$-도함수를 어떻게 활용하여 점프-확산 설정에서 경로 독립성을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 McKean-Vlasov SDE에 점프가 있는 경우에 적절한 이토 공식의 형태는 무엇이며, 기존의 버전과 어떻게 다를까?
• RQ4 경로 독립성 조건은 $L$-도함수를 포함하는 비선형 부분 적분 미분 방정식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 새로운 이토 공식은 기존 문헌의 결과, 특히 확산에 국한된 결과들을 어느 정도 일반화하는가?

주요 결과

• 이 논문은 기존의 형태보다 더 단순하고 추상적 확률 공간이 필요로 하지 않는 새로운 McKean-Vlasov SDE에 대한 이토 공식을 증명한다.
• 덧셈성 기능의 경로 독립성은 과정의 법에 대한 $L$-도함수를 포함하는 비선형 부분 적분 미분 방정식을 통해 특성화된다.
• 특성화 방정식의 해는 $\partial_t h + \mathcal{L}h = 0$ 조건을 만족하며, 여기서 $\mathcal{L}$은 이동, 확산 및 점프 성분을 포함하는 확장된 생성자이다.
• $L^2$-와서르슈타인 위상에서의 근사 수열의 수렴은 법의 해의 안정성을 보장하며, 증명에서 극한 근사의 타당성을 입증한다.
• 보상 및 왕(2016)의 결과를 브라운 운동 기반 SDE에서 점프-확산 SDE로의 경로 독립성 결과로 일반화한다.
• 모멘트 조건 하에서 비리프시츠 계수를 허용함으로써, 전통적인 가정을 초월한 적용 범위를 넓힌다.