[논문 리뷰] Path integral formulation of constrained systems with singular-higher order Lagrangian

Sami I. Muslih|ArXiv.org|2000. 09. 10.

Numerical methods for differential equations인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 높은 계수에서 비정칙인 라그랑지안을 갖는 제약 조건이 있는 시스템에 대해 해밀턴-자비 방법을 사용하여 경로 적분 형식을 개발한다. 캐논ical 경로 적분을 해밀턴-자비 편미분방정식으로 일반화하고, 다변수에서의 완전미분방정식의 적분 가능성 조건을 통합함으로써, 임의의 도수와 비정칙 헤시안 행렬을 갖는 시스템에 대해 유효한 캐논ical 위상공간 좌표에 대한 경로 적분을 유도한다. 이는 이전의 일阶 시스템에 대한 연구를 확장한 것이다.

ABSTRACT

Systems with singular higher order- Lagrangians are investigated by using the extended form of the canonical method. Besides, the canonical path integral formulation is generalized using the Hamilton- jacobi formulation to investigate singular systems

연구 동기 및 목표

• 일阶 시스템을 초월하여 비정칙 고계 라그랑지안 시스템에 대한 경로 적분 양자화를 일반화하는 것.
• 비정칙(특이한) 헤시안 행렬을 갖는 고계수 시스템에서의 제약 운동 역학 문제를 다루는 것.
• 해밀턴-자비 방법을 사용하여 캐논ical 경로 적분을 제작함으로써, 이러한 시스템에 대해 캐논ical 역학과의 일致성을 확보하는 것.
• 제약 조건과 적분 가능성 조건을 고려한 캐논ical 위상공간 좌표에 대한 통합 경로 적분 표현을 유도하는 것.
• 완전미분방정식과 무한소 생성자들을 사용하여 이전의 일阶 비정칙 시스템 결과를 임의의 도수 라그랑지안으로 확장하는 것.

제안 방법

• 연구는 도수 $k$까지의 도수를 포함하는 고계 라그랑지안으로 시작하며, 각 도수를 독립적인 좌표로 간주한다.
• canonical 운동량은 오스트로그라츠키의 형식을 통해 정의되며, 헤시안 행렬 $A_{ij}$ 는 정칙 또는 비정칙 시스템으로 분류하는 데 사용된다.
• 비정칙 시스템의 경우, 헤시안 랭크 $n-r$ 에 의해 $r$ 개의 1차 제약 조건이 유도되며, $q_{(k-1)a}^{(k)}$ 는 $q_{a}^{(k)} = W_{(k)a}(q_{(s)i}, p_{(k-1)b}, q_{{ u}}^{(k)})$ 를 통해 다른 변수들로 표현할 수 있다.
• canonical 해밀토니안 $H_0$ 가 구성되며, 해밀턴-자비 편미분방정식(HJPDE)은 $H'_{(s) u} = p_{(s) u} + H_{(s) u} = 0$ 로 유도되어 경로 적분의 기초를 이룬다.
• HJPDE로부터 유도된 완전미분방정식에 대해 적분 가능성 조건이 도입되어 일관성과 필요 시 추가 제약 조건의 식별이 보장된다.
• 최종 경로 적분은 $q_{(u)a}, p_{(u)a}$ 에 대한 위상공간 적분으로 표현되며, 행동 함수는 $H_{(d)eta}$ 와 해밀턴-자비 생성함수의 도수를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정칙 고계 라그랑지안 시스템에 대해 임의의 도수 $k$ 를 갖는 경로 적분 형식을 일관되게 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 완전미분방정식에 대한 적분 가능성 조건이 이러한 시스템에 대한 캐논ical 경로 적분의 일관성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 해밀턴-자비 편미분방정식과 그 완전미분 형태는 비정칙 고계수 시스템의 캐논ical 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 어떤 방식으로 $H'_{(s) u}$ 함수들이 고계수 제약 시스템의 맥락에서 캐논ical 변환의 무한소 생성자로 작용하는가?
• RQ5 일 때 $k=1$ 이면 제안된 경로 적분이 어떻게 기존의 일계 수준 경로 적분 표현으로 축소되는가?

주요 결과

• 경로 적분은 캐논ical 위상공간 좌표 $(q_{(u)a}, p_{(u)a})$ 에 대한 통합으로 표현되며, 행동 함수는 해밀턴-자비 생성함수와 그 도수를 통해 기술된다.
• 운동 방정식은 다변수에서의 완전미분방정식으로 유도되며, 일관성을 보장하기 위해 적분 가능성 조건 (18) 의 검증이 필요하다.
• 적분 가능성 조건이 자명하게 0이거나 일관된 제약 조건을 유도할 경우, 시스템은 적분 가능하다고 간주되며 경로 적분은 잘 정의된다.
• 해밀토니안 $H'_{(s) u}$ 는 $t_{(s) u}$ 를 매개변수로 하는 캐논ical 변환의 무한소 생성자로 작용하며, 시간 진화에서 표준 해밀토니안의 역할을 일반화한다.
• 일 때 $k=1$ 이면 유도된 경로 적분 표현 (19) 는 이전 연구들 [6,7] 에서 알려진 일계 경로 적분 형식으로 축소된다.
• 이 방법은 제약 조건의 전체 구조를 해밀턴-자비 프레임워크에 통합함으로써, 비정칙 고계수 시스템에 대한 캐논ical 경로 적분을 성공적으로 일반화한다.