[논문 리뷰] Path integral representation for the Hubbard model with reduced number of Lefschetz thimbles

Maksim Ulybyshev, S. N. Valgushev|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 06.

Physics of Superconductivity and Magnetism참고 문헌 4인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비가우시안 투르스탄오프-스트라토노비치 변환을 사용하여 허버드 모델의 경로 적분 형식을 제안하며, 이는 관련 레프셰츠 심블의 수를 줄여서 사인 문제를 완화시킨다. 실수 및 복소수 보조 장 간의 혼합 비율 α를 조절함으로써, 반만 채워진 상태 근처에서는 오직 두 개의 주요 심블만이 존재하게 되어, 작은 격자에서 사인 문제 없이 양자 몬테카를로 시뮬레이션의 가능성을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The concept of Lefschetz thimble decomposition is one of the most promising possible modifications of Quantum Monte Carlo (QMC) algorithms aimed at alleviating the sign problem which appears in many interesting physical situations, e.g. in the Hubbard model away from half filling. In this approach one utilizes the fact that the integral over real variables with an integrand containing a complex fluctuating phase is equivalent to the sum of integrals over special manifolds in complex space ("Lefschetz thimbles"), each of them having a fixed complex phase factor. Thus, the sign problem can be reduced if the resulting sum contains terms with only a few different phases. We explore the complexity of the sign problem for the few-site Hubbard model on square lattice combining a semi-analytical study of saddle points and thimbles in small lattices with several steps in Euclidean time with results of test QMC calculations. We check different variants of conventional Hubbard-Stratonovich transformation based on Gaussian integrals. On the basis of our analysis we reveal a regime with minimal number of relevant thimbles in the vicinity of half filling. In this regime we found only two relevant thimbles for the few-site lattices studied in the paper. There is also indirect evidence of the existence of this regime in more realistic systems with large number of Euclidean time slices. In addition, we derive a new non-Gaussian representation of the interaction term, where the number of relevant Lefschetz is also reduced in comparison with conventional Gaussian Hubbard-Stratonovich transformation.

연구 동기 및 목표

• 반만 채워진 상태에서 벗어난 허버드 모델의 결정식 양자 몬테카를로 시뮬레이션에서 지속적인 사인 문제를 해결하기 위해.
• 경로 적분 형식에서 관련 레프셰츠 심블의 수를 줄여 사인 문제의 심각도에 직접적인 영향을 주기 위해.
• 특히 비가우시안인 대체 투르스탄오프-스트라토노비치 표현을 탐색하여 심블 기여를 최소화하고 알고리즘 샘플링을 향상시키기 위해.
• 행동 상수에 실수 및 복소수 보조 장 지수를 최적 혼합함으로써 사인 문제가 완화되는 영역을 규명하기 위해.
• 연속된 보조 장 시뮬레이션에서 페르미온 행렬식이 0인 장 구성이 유도하는 에르고디시티 및 통계적 과제를 분석하기 위해.

제안 방법

• 작은 격자(Ns=1,2,4)와 Nt=1,2,3개의 유클리드 시간 슬라이스에서 반분석적 안장점 분석 및 심블 분해를 수행한다.
• 두 가지 가우시안 투르스탄오프-스트라토노비치 변환 방식을 비교한다: 하나는 페르미온 행렬식에서 실수 지수만을 사용하고, 다른 하나는 복소수 지수를 사용한다.
• BSS-QMC에 영감을 받아 비가우시안 적분 표현을 도입함으로써 상호작용 항의 수를 줄인다.
• 사전에 안장점에 대한 지식 없이도 레프셰츠 심블을 근사하기 위해 헬로모르픽 플로우 및 일반화된 심블 접근법을 사용한다.
• HMC 시뮬레이션을 적용하여 심블의 관련성을 검증하고, 다양한 매개변수 영역에서 위상 변동 및 에르고디시티를 평가한다.
• 페르미온 행렬식이 0인 다양체의 차원을 분석하여 샘플링 곤란성과 통계 오차 행동을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대체 투르스탄오프-스트라토노비치 표현을 사용할 때 허버드 모델에서 달성 가능한 관련 레프셰츠 심블의 최소 수는 얼마인가?
• RQ2 보조 장 행동에서 실수 및 복소수 지수를 혼합함으로써 기여하는 심블의 수와 위상 변동은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 비가우시안 표현이 전통적인 가우시안 HS 변환보다 관련 심블의 수를 줄일 수 있는가?
• RQ4 페르미온 행렬식이 0인 장 구성은 HMC 시뮬레이션에서 에르고디시티를 깨뜨리고 오차 추정을 왜곡하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 반만 채워진 상태 근처에서 오직 두 개의 심블만이 지배하는 영역이 존재하는가? 이 경우 사인 문제가 완화되는가?

주요 결과

• 반만 채워진 상태 근처에서는 연구한 소규모 격자(Ns=1,2,4) 전반에서 관련 레프셰츠 심블의 수가 오직 두 개로 최소화되며, 이는 사인 문제 완화에 유리한 영역임을 시사한다.
• 실수 및 복소수 지수 혼합 영역(α≈0.9)에서 심블 수가 가장 적고 위상 변동도 가장 작으며, 순수 실수 또는 순수 복소수 지수 사례보다 우수한 성능을 보인다.
• 비가우시안 상호작용 항 표현은 여전히 유한한 수의 관련 심블을 유지하며, 중간 정도의 화학적 포텐셜에서는 영점 보조 장에서의 진공 안장점이 항상 지배적이다.
• 화학적 포텐셜이 0일 때 실수인 안장점은 μ가 증가함에 따라 복소 평면으로 이동하지만, 여전히 허수 부분이 0이므로 해당 심블 상에서 위상이 일정하게 유지된다.
• 페르미온 행렬식이 0인 구성은 혼합 영역에서 차원 N−2의 다양체를 이룬다. 순수 실수 또는 순수 복소수 극한의 N−1보다 에르고디시티 문제를 덜 겪는다.
• 행렬식이 0인 다양체의 존재는 관측량에 대해 두꺼운 尾(heavy-tailed) 분포를 유도하며, 2차 모멘트가 정의되지 않기 때문에 통계 후처리에 주의가 필요하다.