[논문 리뷰] Path integrals for a class of p-adic Schr"odinger equations

V. S. Varadarajan|ArXiv.org|1997. 02. 21.

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한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 국소체 위의 유한차원 벡터 공간에서 p-진 슈뢰딩거 방정식의 허수 시간 전파자에 대한 경로 적분 형식을 개발한다. 우도적 함수(오른쪽 연속이며 왼쪽 극한이 존재하는 함수)의 스토로호드 공간 위의 측도를 사용하여, 전파자 $ e^{-tH} $에 대한 파이먼-케이스 유사 공식을 유도한다. 이는 연속 경로가 아닌 불연속 경로와 초등거리 노름을 고려한 실수 변수 경로 적분을 p-진 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

The theme of doing quantum mechanics on all abelian groups goes back to Schwinger and Weyl. If the group is a vector space of finite dimension over a non-archimedean locally compact division ring, it is of interest to examine the structure of dynamical systems defined by Hamiltonians analogous to those encountered over the field of real numbers. In this letter a path integral formula for the imaginary time propagators of these Hamiltonians is derived.

연구 동기 및 목표

• 실수 벡터 공간에서의 양자역학적 경로 적분 형식을 p-진 및 비아르키메데스 국소체로 확장하기 위해.
• 비아르키메데스 양자역학에서 연속 경로 측도의 부재를 해결하기 위해 스토로호드 공간 위의 측도를 도입하기 위해.
• 이 비아르키메데스 설정에서 허수 시간 전파자 $ e^{-tH} $에 대한 파이먼-케이스 유사 공식을 유도하기 위해.
• p-진 확산 과정의 경로 공간 위에서 확률 측도의 존재성과 연속성을 확립하기 위해.
• p-진 양자 시스템에서 잠재 에너지 항을 포함한 해밀토니안에 대한 엄밀한 경로 적분 표현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 비아르키메데스 국소체 $ K $ 위에서 유한차원인 분할 대수 $ D $ 위의 벡터 공간 $ W $를 사용하며, 초등거리 $ D $-노름을 갖춘다.
• 경로 공간을 $ D([0,t]:W) $로 정의한다. 이는 $[0,t]$ 에서 $ W $로의 cdlg 함수의 공간으로, 오른쪽 연속이며 왼쪽 극한이 존재한다.
• 조건부 기대와 체츠보프 기준을 사용하여, 시작점이 $ x $ 이고 종료점이 $ y $ 인 과정을 위한 확률 측도 $ \mathbf{P}^{t}_{x,y} $ 를 경로 공간 위에 구성한다.
• 비자명한 덧셈 문자 $ \chi $ 를 기반으로 $ W $ 위의 푸리에 변환을 적용하고, $ \chi $ 의 도전도 $ \delta $ 를 사용하여 하르 측도와 특성 함수를 정의한다.
• 경로 공간 위의 적분을 통해 커널 $ K_{t,b}(x,y) $ 를 유도한다: $ K_{t,b}(x,y) = \int_{\mathcal{D}_t} \exp\left(-\int_0^t V(\omega(s))ds\right) d\mathbf{P}^{t}_{x,y}(\omega) \cdot f_{t,b}(x-y) $, 여기서 $ f_{t,b} $ 는 밀도 함수이다.
• 일차원 경우에서 $ f_{t,b}(\pi^{-m}) $ 를 명시적으로 계산한다. 이는 $ r \leq -m + \delta $ 에 대한 합으로 표현되며, 지수 감쇠 항 $ e^{-tq^{rb}} - e^{-tq^{(r+1)b}} $ 을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 경우와 유사한 해밀토니안을 갖는 p-진 슈뢰딩거 연산자에 대해 경로 적분 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 초등거리 공간에서 연속 경로가 존재하지 않는다는 점을 감안할 때, p-진 설정에서 경로 공간은 어떻게 정의되어야 하는가?
• RQ3 비아르키메데스 양자역학에서 허수 시간 전파자 $ e^{-tH} $ 를 유도하는 데 적합한 측도 공간과 확률 과정은 무엇인가?
• RQ4 초등거리 노름과 불연속 경로를 고려한 p-진 필드로의 파이먼-케이스 공식은 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 경로 적분과 함수 $ f_{t,b} $ 를 통해 전파자 커널 $ K_{t,b}(x,y) $ 의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 스토로호드 공간 $ D([0,T]:W) $ 위에 유일한 확률 측도의 가족 $ \mathbf{P}^{T,b}_{x,y} $ 가 존재하며, 이는 $ x $ 와 $ y $ 에 대해 연속적이다. 이는 $ x $ 에서 시작하고 $ y $ 에서 끝나는 cdlg 과정의 법칙을 나타낸다.
• 전파자 $ e^{-tH_{W,b}} $ 는 경로 위의 적분으로 표현된다: $ K_{t,b}(x,y) = \int_{\mathcal{D}_t} \exp\left(-\int_0^t V(\omega(s))ds\right) d\mathbf{P}^{t}_{x,y}(\omega) \cdot f_{t,b}(x-y) $, 여기서 $ f_{t,b}(x) $ 는 $ |x| $ 에만 의존한다.
• 일차원 경우에서 $ f_{t,b}(\pi^{-m}) = q^{-\delta/2} \sum_{r \leq -m + \delta} q^r \left( e^{-tq^{rb}} - e^{-tq^{(r+1)b}} \right) $ 로 주어지며, 밀도에 대한 명시적 공식을 제공한다.
• 커널 $ K_{t,b}(x,y) $ 는 $ x $ 와 $ y $ 에 대해 연속적임을 보였으며, 측도 $ \mathbf{P}^{t}_{x,y} $ 는 조건부 기대와 체츠보프 기준을 통해 구성된다.
• 쿨롱 문제의 경우, 해밀토니안 $ H = \Delta_{D,b} - eM_{1/|x|} $ 는 $ K $ 위의 4차원 분할 대수 $ D $ 의 영성분 부분공간 위에 정의되며, $ \text{char}(K) \neq 2 $ 일 때 $ D $ 는 허니본 대수이다.
• 이 구성은 허니본 대수의 2차원 충실한 표현을 통해 실수 경우로의 일반화를 이루며, $ D $ 의 행렬식이 1인 원소들로 이루어진 군 $ U $ 에 대한 대칭성을 유지한다.