[논문 리뷰] Path properties and regularity of affine processes on general state spaces

Christa Cuchiero, Josef Teichmann|RePEc: Research Papers in Economics|2011. 07. 08.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반 상태 공간 위에서의 애프라인 프로세스에 대해 마코프 반마르팅글 유계 이론을 이용하여 càdlàg 판정형의 정규성 및 존재성을 확립한다. 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결하기 위해, 확률적 연속성과 애프라인 푸리에-라플라스 성질이 특성 지수 함수의 미분 가능성으로 이어지며, 다각형 또는 표준 상태 공간 가정 없이도 정규성을 확인함으로써 이를 해결한다.

ABSTRACT

We provide a new proof for regularity of affine processes on general state spaces by methods from the theory of Markovian semimartingales. On the way to this result we also show that the definition of an affine process, namely as stochastically continuous time-homogeneous Markov process with exponential affine Fourier-Laplace transform, already implies the existence of a càdlàg version. This was one of the last open issues in the fundaments of affine processes.

연구 동기 및 목표

• 일반 상태 공간 위의 애프라인 프로세스가 càdlàg 판정형을 갖는지 여부라는 열린 문제를 해결한다.
• 표준 또는 다각형 상태 공간을 가정하지 않고도, 확률적 연속성과 지수 애프라인 푸리에-라플라스 변환으로 정의된 애프라인 성질이 정규성을 유도한다는 것을 입증한다.
• 이전의 표준 상태 공간에 대한 분류 결과에 의존하지 않는 마코프 반마르팅글 이론을 이용해 정규성에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 애프라인 프로세스의 반마르팅글 특성들이 상태 변수에 대해 애프라인임을 보이며, 이는 특성 지수 함수에 대한 일반화된 리카티 방정식을 이끌어낸다.

제안 방법

• 마코프 반마르팅글 이론을 활용하여 애프라인 프로세스의 무한소 생성자와 반마르팅글 특성을 분석한다.
• 반마르팅글 특성에 레비-힌친 표현을 적용하여, 이동, 분산 및 점프 성분이 상태 변수에 대해 애프라인임을 보인다.
• 시간 0에서의 반세마그룹 방정식을 미분함으로써 특성 지수 함수 Φ 및 ψ에 대한 일반화된 리카티 방정식을 유도한다.
• 반마르팅글 특성의 구조와 라플라스 변환의 연속성에 기반하여 Φ 및 ψ의 연속성과 미분 가능성, 특히 0에서의 성질을 확립한다.
• 반마르팅글 특성의 정규성과 상태 공간의 구조에 기반하여 càdlàg 판정형의 존재를 유도한다.
• 레비-힌친 표현의 유일성에 기반하여 특성의 상태 변수에 대한 의존성이 애프라인임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 연속성과 지수 애프라인 푸리에-라플라스 변환으로 정의된 애프라인 성질이 일반 상태 공간 위의 애프라인 프로세스에 대해 càdlàg 판정형의 존재를 보장하는가?
• RQ2 표준 또는 다각형 상태 공간을 가정하지 않고도, 특성 지수 함수 Φ 및 ψ의 정규성—즉, 시간에 대한 미분 가능성—을 확립할 수 있는가?
• RQ3 비볼록 또는 비다각형 상태 공간, 예를 들어 질량 제약이 있는 양의 준정부호 행렬 집합과 같은 상태 공간에서도 애프라인 프로세스의 반마르팅글 특성이 상태 변수에 대해 애프라인인가?
• RQ4 기존의 분류 결과 없이도 반마르팅글 구조에서 직접적으로 Φ 및 ψ에 대한 일반화된 리카티 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 반마르팅글 특성의 애프라인 성질이 컴팩트 또는 이산 상태 공간 위에서의 애프라인 프로세스 구성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일반 상태 공간 위의 애프라인 성질은 càdlàg 판정형의 존재를 유도하며, 애프라인 프로세스 이론의 기초에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.
• 정규성—즉, 특성 지수 함수 Φ 및 ψ의 시간에 대한 미분 가능성—은 확률적 연속성과 애프라인 푸리에-라플라스 성질로부터 직접 도출된다.
• 반마르팅글 특성(이동, 분산 및 점프 성분)은 상태 변수에 대해 애프라인 함수이며, 이는 특성 지수 함수 Φ 및 ψ에 대한 일반화된 리카티 방정식을 이끌어낸다.
• 일반화된 리카티 방정식은 Φ 및 ψ의 연속성과 레비-힌친 표현의 구조에 기반하여 시간 0에서의 반세마그룹 방정식을 미분함으로써 도출된다.
• 결과는 비볼록 집합인 질량 제약이 있는 양의 준정부호 행렬 집합과 같은 상태 공간, 그리고 컴팩트 또는 이산 상태 공간을 포함한 임의의 상태 공간 D ⊆ V에 대해 유효하다.
• 이 증명은 이전의 표준 상태 공간에 대한 분류 결과에 의존하지 않으며, S_d^+ 또는 포물형 경계로 정의된 집합과 같은 비다각형 상태 공간에도 적용 가능하다.