[논문 리뷰] Pathologies on Mori fibre spaces in positive characteristic

Hiromu Tanaka|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성(2 또는 3)에서 모리 피브리케이션 공간이 특성 0에서는 관찰되지 않는 병리적 성질을 보일 수 있음을 보여준다: 구체적으로, klt 전체 공간이 비-klt 기저를 가질 수 있으며, 상대적으로 비자명한 토판 선다발이 존재할 수 있다. 불완전한 체 위의 표면과 확장된 구성 방법을 사용하여, 양의 특성에서 최소 모델 프로그램의 표준 성질을 위반하는 명시적 예를 구성한다.

ABSTRACT

We show that there exist Mori fibre spaces whose total spaces are klt but bases are not. We also construct Mori fibre spaces which have relatively non-trivial torsion line bundles.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 모리 피브리케이션 공간의 표준 성질에 대한 반례를 식별하고 구성하기.
• klt 전체 공간에서 유도된 모리 피브리케이션 공간의 기저가 양의 특성에서 반드시 klt일 필요가 없음을 보여주기.
• 양의 특성에서 모리 피브리케이션 공간에 상대적으로 비자명한 토판 카르티에 인자가 존재함을 보여주기.
• 불완전한 체 위의 로그 델 페조 표면에서 알려진 병리적 성질을 고차원 모리 피브리케이션 공간으로 확장하기.
• 양의 특성에서 상대적 기저 점 자유 정리와 수치적 자명성 결과의 타당성을 도전하기.

제안 방법

• 비평탄한 삼차 곡선과 기저 체의 비자명한 확장을 사용하여 불완전한 체 위의 로그 델 페조 표면을 구성하기.
• 자코비안 기준과 세르 코hom올로지 이론을 사용하여 $Ω^1$-_bundle의 코호몰로지 장벽을 분석하기.
• 수정된 형태의 상대 카와마타-쇼쿠로우 기저 점 자유 정리를 적용하여 인자의 반반산성 분석하기.
• 구성된 표면을离산 평가환론 위로 확장하여 곡선 위의 전역 사상 확보하기.
• 기저 위에서 MMP를 통해 연이은 플립과 인자 수축을 수행하며, 정규화와 프로베누스 당김을 사용하기.
• 키엘의 반산성 정리와 $Ω^1$-bundle의 성질을 활용하여 최종 사상이 $ρ(V/W) = 1$ 이고 $-K_V$ 가 앰플임을 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 klt 전체 공간을 가진 모리 피브리케이션 공간이 양의 특성에서 비-klt 기저를 가질 수 있는가?
• RQ2 특성 0과 마찬가지로, 상대적으로 수치적으로 자명한 카르티에 인자가 양의 특성에서 여전히 자명한가?
• RQ3 양의 특성에서 모리 피브리케이션 공간에 비자명한 $p$- torsion 선다발이 존재할 수 있는가?
• RQ4 불완전한 체와 순수하게 비가역적 확장은 이러한 병리적 성질을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 최소 모델 프로그램의 표준 결과들이 양의 특성에서 어느 정도 실패하는가?

주요 결과

• 대수적으로 닫힌 특성 2 또는 3의 체 위에 존재하는 4차원 $Ω$-factorial klt 다양체 $V$ 는 3차원 $Ω$-factorial 다양체 $W$ 로 사라지며, $W$ 는 klt가 아니며, 모든 표준 모리 피브리케이션 공간 조건을 만족한다.
• 특성 2 또는 3의 체 위에 존재하는 3차원 $Ω$-factorial klt 다양체 $V$ 는 매끄러운 곡선 $W$ 로의 사상 $f: V \to W$ 를 가지며, $-K_V$ 는 $f$-amply, $ρ(V/W) = 1$, 그리고 $V$ 위에 있는 카르티에 인자 $D$ 가 존재하여 $D \not\backsim_f 0$ 이지만 $pD \backsim_f 0$ 이다.
• 첫 번째 예에서 기저 공간 $W$ 는 $V$ 가 $Ω$-factorial 이고 klt임에도 불구하고 klt가 아니므로, 모리 피브리케이션 공간의 기저가 반드시 klt 성질을 물려받지 않는다는 것을 보여준다.
• 기저가 매끄러운 곡선인 $W$ 위에서 $V$ 에 비자명한 $p$-torsion 인자가 존재함을 보여주며, [KMM87]에서의 상대 수치 자명성 결과가 양의 특성에서 실패함을 보여준다.
• 이러한 병리적 성질의 구성은 $K_C \backsim 0$ 인 곡선 $C$ 로의 $π^1$-bundle을 지닌 표면 $S$ 를 불완전한 체 위에서 사용하며, $C$ 는 평탄하지 않지만 $S$ 는 정규적이고 로그 델 페조이다.
• 순수하게 비가역적 확장에 의한 당김 후 코호몰로지의 비영성과 함께 비자명한 $p$-torsion 인자의 존재를 통해, 양의 특성에서 상대 기저 점 자유 정리의 실패가 입증된다.