[논문 리뷰] Pathology and asymmetry: centralizer rigidity for partially hyperbolic diffeomorphisms

Danijela Damjanović, Amie Wilkinson외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 74인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 1차원 중심을 가진 체적을 보존하는 부분적으로 초구형 미분동형사상에 대한 강성 현상을 확립한다: 대수적 시스템—예를 들어, 초구형 다각형에서 이산화된 지오데식 흐름이나 특정 토르스 자기동형사상—의 매끄럽고 에르고딕인 변형에서는 중심자군이 유한체적 ℤ이거나 매끄러운 흐름을 포함한다. 이 결과는 두 가지 핵심 강성 메커니즘에 기반한다: 중심 분할에 沿한 체적의 르베그 분해와 교차하는 초구형성을 가진 가환 미분동형사상에서 비아벨 강성이다.

ABSTRACT

We discover a rigidity phenomenon within the volume-preserving partially hyperbolic diffeomorphisms with $1$-dimensional center. In particular, for smooth, ergodic perturbations of certain algebraic systems -- including the discretized geodesic flows over hyperbolic manifolds and certain toral automorphisms with simple spectrum and exactly one eigenvalue on the unit circle, the smooth centralizer is either virtually $\mathbb Z^\ell$ or contains a smooth flow. At the heart of this work are two very different rigidity phenomena. The first was discovered in [2,3] for a class of volume-preserving partially hyperbolic systems including those studied here, the disintegration of volume along the center foliation is either equivalent to Lebesgue or atomic. The second phenomenon is the rigidity associated to several commuting partially hyperbolic diffeomorphisms with very different hyperbolic behavior transverse to a common center foliation [25]. We introduce a variety of techniques in the study of higher rank, abelian partially hyperbolic actions: most importantly, we demonstrate a novel geometric approach to building new partially hyperbolic elements in hyperbolic Weyl chambers using Pesin theory and leafwise conjugacy, while we also treat measure rigidity for circle extensions of Anosov diffeomorphisms and apply normal form theory to upgrade regularity of the centralizer.

연구 동기 및 목표

• 1차원 중심을 가진 대수적 부분적으로 초구형 시스템의 변형에 대한 매끄러운 중심자군의 구조를 이해하는 것.
• 그러한 변형이 큰 중심자군을 유지하는 조건, 특히 중심자군이 매끄러운 흐름을 포함하거나 높은 아벨 계수를 가질 때를 결정하는 것.
• 에르고딕성과 매끄러움 조건 하에서 중심자군이 유한체적 ℤ이거나 매끄러운 흐름을 포함하는 이분법적 성질을 확립하는 것.
• 교차하는 초구형성을 가진 가환 미분동형사상에서 비아벨 강성과 중심 분할에 沿한 체적의 르베그 분해라는 두 가지 서로 다른 강성 메커니즘을 통합하는 것.

제안 방법

• 페신 이론과 잎별 동형사상(leafwise conjugacy)을 이용한 하이퍼볼릭 Weyl 침대 내 부분적으로 초구형 원소의 새로운 기하적 구성.
• 아노소프 미분동형사상의 원환면 확장에 대해 열역학 체계를 이용한 측도 강성 적용.
• 중심 분할에 沿한 코호몰로지 강성 분석을 위한 부분적으로 초구형 리브시크 이론의 사용.
• 지배 분할이 존재하는 상황에서 정규성의 제어를 위해 비정적 정규형식(nonstationary normal forms)의 구현.
• 특히 [23]의 정리 11을 포함한 보존적 아벨 작용에 대한 전역 강성 결과를 활용하여, 선형 아노소프 작용과 회전 작용의 곱으로의 매끄러운 동형사상으로의 결론 도출.
• 초구형 Weyl 침대의 구조와 리아푸노프 함수를 분석하여 전역 강성 조건을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체적을 보존하는 부분적으로 초구형 미분동형사상의 매끄럽고 에르고딕인 변형이 그 반복에 의해 생성된 군보다 큰 중심자군을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 그러한 변형의 중심자군이 매끄러운 1매개변수 흐름을 포함하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 중심 분할에 沿한 체적의 분해 성질(르베그 또는 원자적)이 중심자군의 구조와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 어떤 강성 메커니즘이 변형 조건 하에서 중심자군이 유한체적 ℤ에서 매끄러운 흐름을 포함하는 것으로 성장할 수 있게 하는가?
• RQ5 초구형 Weyl 침대 그림과 가환 미분동형사상의 리아푸노프 함수를 통해 중심자군의 구조는 어느 정도 결정될 수 있는가?

주요 결과

• 부정적 곡률을 가진 다각형에서 이산화된 지오데식 흐름과 단순 스펙트럼를 가지며 단 하나의 고유값이 단위 원주 위에 있는 특정 토르스 자기동형사상의 매끄럽고 에르고딕인 변형에 대해서는, 매끄러운 중심자군이 유한체적 ℤ이거나 매끄러운 흐름을 포함한다.
• 중심 분할에 沿한 체적의 분해는 르베그 또는 원자적일 수 있으며, 이 이분법이 강성 메커니즘의 핵심 역할을 한다.
• 중심자군의 아벨 계수가 ℓ₀ > 1일 경우, 리아푸노프 함수가 1/2-압축 조건을 만족하고, 어떤 쌍도 χᵢ = cχⱼ 를 만족하지 않으며 c ∈ (−∞, 1/2] ∪ [2, ∞) 일 때, 토르스 인자 위의 작용은 𝕋^{d−1} 위의 선형 아노소프 작용과 𝕋¹ 위의 회전 작용의 곱으로 매끄럽게 동형사상된다.
• 그러한 변형의 중심자군은 전역 강성을 가진다: 만약 고계수 아벨 군의 가환 미분동형사상들이 교차하는 초구형성을 가지면, 시스템은 선형 아노소프 작용과 회전 작용의 곱으로 매끄럽게 동형사상된다.
• 중심자군의 토르스 인자 위의 작용은 C∞ 매끄럽고 체적을 보존하며, 이 정규성은 안정 및 불안정 분할에 따라 매끄러운 정규형식을 유지하는 것에서 Journé의 보조정리에 의해 유도된다.
• 중앙자군 작용의 모든 Weyl 침대 내 부분적으로 초구형 원소의 존재는 전역 강성 정리의 적용을 가능하게 하며, 그 결과 시스템은 표준 모델로 매끄럽게 동형사상됨을 도출한다.