[논문 리뷰] Pathwise asymptotics for Volterra type rough volatility models

M. Cellupica, Barbara Pacchiarotti|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 15.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 연속적인 볼테라 과정의 함수로 표현되는 볼륨이 지배하는 볼테라 유형의 거친 볼륨 모델에 대해 경로 기반 대 deviations 원리(pathwise large deviation principles)를 수립한다. 스케일링된 로그가격 경로를 분석함으로써, 극단적인 가격 변동을 다루는 비예측적(non-anticipative) 프레임워크를 제공하며, 이는 거친 확률적 볼륨 모델에서의 점점 희귀한 움직임을 연구하는 데 기초가 된다.

ABSTRACT

We study stochastic volatility models in which the volatility process is a positive continuous function of a continuous Volterra stochastic process. We state some pathwise large deviation principles for the scaled log-price.

연구 동기 및 목표

• 볼테라 과정에 의해 구동되는 거친 볼륨 모델을 위한 경로 기반 대 deviations 프레임워크를 개발하는 것.
• 연속적이고 양수인 볼륨 함수를 갖는 확률적 볼륨 모델에서 스케일링된 로그가격 과정의 점점 희귀한 행동을 분석하는 것.
• 비예측적이고 경로 기반인 대 deviations 원리를 수립하여, 거친 볼륨 역학에 적합한 것.
• 거친 확률적 볼륨 모델에서 희귀 사건과 꼬리 리스크를 연구하기 위한 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 분석은 스케일링된 로그가격 과정의 표본 경로에 중점을 두고 경로 기반 설정에서 수행된다.
• 연속적인 세미마링게일의 약한 수렴 이론과 기능적 극한 정리 이론을 활용하여 대 deviations 원리를 도출한다.
• 볼륨 과정은 연속적인 볼테라 과정의 양수 연속 함수로 모델링되어 경로 기반의 정규성을 보장한다.
• 이 방법은 수축 원리와 도네스커-바라다한 변분 공식을 활용하여 경로 기반 점점 희귀한 행동를 분석한다.
• 예측 가능한 확률적 적분을 피하고, 점점 희귀한 분석에서 인과성을 유지한다.
• 핵심 기술 도구로는 볼테라 과정과 그 스케일링 극한의 기능적 표현으로서의 로그가격 표현을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대 deviations 조건 하에서 거친 볼륨 모델에서 스케일링된 로그가격의 경로는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 볼테라 유형의 확률적 볼륨 모델에서 로그가격의 점점 희귀한 꼬리 행동을 지배하는 경로 기반 대 deviations 원리는 무엇인가?
• RQ3 연속적인 볼테라 과정에 의해 구동되는 볼륨 과정에 대해 비예측적이고 경로 기반의 대 deviations 결과를 수립할 수 있는가?
• RQ4 스케일링 조건 하에서 볼테라 과정이 로그가격의 꼬리 확률을 어떻게 형상화하는가?
• RQ5 볼륨이 볼테라 과정의 함수로 표현될 때, 그 기능적 형태가 대 deviations 속도 함수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 볼테라 유형의 거친 볼륨 모델에서 스케일링된 로그가격 과정에 대해 경로 기반 대 deviations 원리를 수립한다.
• 대 deviations 원리의 속도 함수는 변분 표현에서 제어 과정의 에너지로 기술된다.
• 예측 가능한 확률적 해석을 요구하지 않고도 점점 희귀한 꼬리 확률이 유도된다.
• 볼테라 커널과 볼륨 함수에 대한 미약한 정규성 조건 하에서도 대 deviations 원리가 성립한다.
• 특정 경우, 예를 들어 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 볼륨의 경우, 속도 함수의 명시적 계산이 가능하다.
• 결과적으로, 거친 볼륨 모델링에서 전통적인 대 deviations 접근법에 대한 경로 기반 대체 방안을 제공한다.