[논문 리뷰] Pathwise Holder convergence of the implicit Euler scheme for semi-linear SPDEs with multiplicative noise

Sonja Cox, J. M. A. M. van Neerven|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 UMD 범주에서 다중성 소음을 가진 반선형 확률 편미분 방정식(SPDEs)에 은닉 오일러 스킴을 적용할 때 경로별 허더 수렴 속도의 최적성을 확립한다. 모멘트 수렴을 증명하고 콜모고로프 및 보렐-칸텔리 추론을 적용하여, 비선형항과 확산계수에 대한 리프시츠 조건과 정규성 조건 하에서 거의 확실한 허더 수렴 속도를 유도한다. 국소 리프시츠 경우로의 확장은 국소화 기법을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

In this article we prove pathwise Holder convergence with optimal rates of the implicit Euler scheme for semi-linear parabolic stochastic differential equations with multiplicative noise, set in a UMD Banach space X. We assume the non-linearities to satisfy appropriate (local) Lipschitz conditions. The convergence results are obtained by first proving corresponding results for the splitting scheme. The results are applied to a class of second order parabolic SPDEs driven by multiplicative space-time white noise.

연구 동기 및 목표

• 다중성 소음을 지닌 반선형 SPDEs를 해결하기 위한 수치적 스킴에 대해 최적 속도로 경로별 허더 수렴을 확립하기.
• 국소 리프시츠 계수로의 수렴 결과를 전역 리프시츠 계수에서 국소 리프시츠 계수로 확장하기 위한 국소화 기법을 통한 적용.
• 가중 허더 노름에서의 모멘트 수렴을 증명하고, 확률적 도구를 활용해 거의 확실한 경로별 수렴을 유도하기.
• 추상적 결과를 시공간 백색소음에 의해 구동되는 2차 포물형 SPDEs에 적용하기.
• L^p 공간과 힐버트 공간을 포함한 UMD 범주에서 피에지어의 성질 (\alpha)를 가진 공간으로 수렴 분석을 일반화하기.

제안 방법

• 해석적 C0-군의 생성자 A를 포함하는 리졸베이트 표현을 통해 정의된 은닉 오일러 스킴의 사용.
• 중간 단계로 스플릿팅 스킴을 적용하고, 트로터-카토 공식을 활용해 리졸베이트와 군을 연결하기.
• 사전 추정과 확률적 적분 이론을 통해 이산 허더 노름에서의 모멘트 수렴을 증명하기.
• 콜모고로프 기준과 보렐-칸텔리 보조정리를 활용해 모멘트 수렴을 거의 확실한 경로별 허더 수렴으로 승격시키기.
• γ-라돈형성 연산자와 UMD 공간에서의 확률적 적분을 사용해 노이즈 항을 제어하기.
• 국소화 기법을 통해 전역 리프시츠 계수 F와 G에서 국소 리프시츠 계수로 결과를 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 소음을 지닌 반선형 SPDEs의 맥락에서 은닉 오일러 스킴의 최적 경로별 허더 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 이산 허더 노름에서의 모멘트 수렴은 어떻게 거의 확실한 경로별 수렴을 도출할 수 있는가?
• RQ3 UMD 범주에서 수렴을 보장하기 위해 계수 F와 G에 요구되는 정규성 및 적분 가능성 조건은 무엇인가?
• RQ4 수렴 결과를 전역 리프시츠 계수에서 국소 리프시츠 계수로 확장할 수 있는가?
• RQ5 피에지어의 성질 (\alpha)와 UMD 공간의 타입은 수렴 속도 결정에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 적절한 F와 G에 대한 정규성 및 적분 가능성 조건 하에서, 은닉 오일러 스킴은 δ < 1/2일 때 최적의 경로별 허더 수렴 속도 n^{-\delta}를 달성한다.
• 최적의 지수 γ < 1/2를 가진 이산 허더 노름 \| \cdot \|_{c(n)^\gamma} 에서 수렴이 확립된다.
• 전역 리프시츠 계수의 경우, 오차의 p차 모멘트는 E\|u - v^{(n)}\|_{c(n)^\gamma}^p \leq C n^{-\delta p} (1 + \|x_0\|_{L^p(\Omega; X^\eta)}^p) 를 만족한다.
• 거의 확실한 경로별 수렴은 보렐-칸텔리 추론을 통해 확보되며, 거의 모든 ω에 대해 수렴 속도는 n^{-\delta}이다.
• 국소화 기법을 통해 국소 리프시츠 계수로의 결과 확장이 가능하며, 동일한 수렴 속도를 유지한다.
• 이 틀은 X = L^p(D)이고 H = L^2(D)일 때 특히 중요한 2차 포물형 SPDEs에 적용 가능하다.