[논문 리뷰] Pathwise super-replication via Vovk's outer measure

Mathias Beiglböck, Alexander M. G. Cox외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 35인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 Vovk의 경로 기반 접근법과 Skorokhod 임베딩 쌍대성에 기반하여 이국적인 파생상품에 대한 모델 독립 초수복제 정리 수립. 유한한 수의 모멘트 정보가 주어질 때, 강력한 초수복제 가격이 마틴갈 측도 위에서의 원시 기대값과 일치함을 증명하며, 실현 변동성, 룩백, 이산적으로 모니터링되는 아시안 옵션을 포함한 옵션들을 다룸.

ABSTRACT

Since Hobson's seminal paper [D. Hobson: Robust hedging of the lookback option. In: Finance Stoch. (1998)] the connection between model-independent pricing and the Skorokhod embedding problem has been a driving force in robust finance. We establish a general pricing-hedging duality for financial derivatives which are susceptible to the Skorokhod approach. Using Vovk's approach to mathematical finance we derive a model-independent super-replication theorem in continuous time, given information on finitely many marginals. Our result covers a broad range of exotic derivatives, including lookback options, discretely monitored Asian options, and options on realized variance.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 모델 독립 금융에서 이국적 파생상품에 대한 강력한 가격-헤지 이중성 수립.
• Dolinsky-Soner 초수복제 정리를 실현 변동성 및 변동성에 의존하는 파생상품(예: 실현 변동성 옵션 포함)으로 확장.
• Vovk의 외측 측도와 제곱변동기반 경로 정규화를 활용한 경로 기반 초수복제 프레임워크 개발.
• 유한한 수의 모멘트 제약 조건 하에서 원시 초수복제 가격이 이중 헤지 비용과 동일함을 증명.
• 스포크홀드 임베딩 프레임워크 하에서 시간 불변 수익 구조를 다루며, 룩백 및 이산적으로 모니터링되는 옵션 포함.

제안 방법

• 연속 경로 위에 제곱변동을 갖는 외측 측도를 정의함으로써 Vovk의 경로 기반 금융 접근법을 사용.
• 정지시간에 적응하는 단순 전략을 통해 경로 기반 확률적 적분 (H·S)을 정의하여 잘 정의된 자본 과정 확보.
• Vovk의 경로 기반 Dambis-Dubins-Schwarz 정리를 적용하여 경로를 시간에 따라 재스케일링하여 제곱변동이 시간와 일치하도록 조정.
• 최적 운반 문제의 이중 형식을 활용한 스포크홀드 임베딩 쌍대성 적용, 볼록 순서와 마틴갈 쌍대를 사용.
• Υ-연속성과 함수 f의 유계성으로 정규성 도입하여 헤지 전략의 수렴 보장.
• 모멘트 제약 조건을 다루고 이중성을 증명하기 위해 라그랑주 이완과 컴actness 추론(볼록 페널티 함수를 통한) 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱변동에 의존하고 시간 변화 경로에 대해 불변인 파생상품에 대해 모델 독립 초수복제 정리 수립이 가능한가?
• RQ2 연속시간에서 유한한 수의 모멘트 제약 조건 하에서 초헤지 비용과 최대 기대 수익 간의 이중성은 성립하는가?
• RQ3 Vovk의 외측 측도와 경로 기반 확률적 적분 프레임워크를 활용해 Dolinsky-Soner 정리를 변동성에 의존하는 수익 구조로 확장할 수 있는가?
• RQ4 스포크홀드 임베딩 문제를 어떻게 활용하여 룩백 및 이산적으로 모니터링되는 아시안 옵션과 같은 이국적 옵션에 대한 강력한 헤지 전략 유도할 수 있는가?
• RQ5 유럽식 옵션과 경로 의존적 파생상품을 통합하는 경로 기반 확률적 미적분 프레임워크를 구축할 수 있는가?

주요 결과

• 지정된 모멘트를 갖는 모든 마틴갈 측도 위에서의 EP[G] 최대값으로 정의된 원시 초수복제 가격 Pn은 이중 헤지 비용 Dn과 동일하다.
• 이중 비용 Dn은 상수 a와 헤지 전략 (Hm)에 대해 a + ∑j∈I ψj(Sj) + lim infm→∞(Hm·S)n ≥ G(ω) 를 모든 경로 ω에 대해 만족시키는 최소값으로 주어진다.
• G(ω) = γ(t(ω)↾[0,⟨ω⟩n], ⟨ω⟩1, ..., ⟨ω⟩n) 형태의 수익 함수에 대해 결과가 성립하며, 실현 변동성 옵션 및 룩백 옵션 포함.
• 지속적으로 모니터링되는 아시안 옵션은 시간 이산화 필요로 하여 프레임워크에서 제외되나, 이산적으로 모니터링되는 형태는 포함됨.
• 증명은 볼록 페널티 함수를 통한 컴팩턴스와 Υ-연속 마틴갈을 활용한 이중 표현 제어에 기반.
• 이중성은 모멘트 제약 조건에 대해 강건하며, 추가적인 동일한 불변 형태의 옵션을 더 많은 시장 정보를 통해 확장 가능.