[논문 리뷰] Pathwise Taylor Expansions for Itô Random Fields

Rainer Buckdahn, Ingo Bulla외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 해의 값과 그 공간 도함수에 모두 의존하는 자기흥동 확산을 갖는 이토 유형의 랜덤 필드에 대해 일반적인 경로 기반 스트로크-테일러 전개를 제안한다. 이 전개는 임의의 랜덤 시공간 점 $(\tau,\xi)$를 중심으로 유의하게 성립하며, 특이 집합이 $(\tau,\xi)$의 선택과 무관하여, 기울기 의존성 확산 계수를 갖는 완전 비선형 스토크라스틱 편미분방정식(S(P)DE)에 대한 새로운 스토크라스틱 점성해의 정의를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we study the {\it pathwise stochastic Taylor expansion}, in the sense of our previous work \cite{Buckdahn_Ma_02}, for a class of Itô-type random fields in which the diffusion part is allowed to contain both the random field itself and its spatial derivatives. Random fields of such an "self-exciting" type particularly contains the fully nonlinear stochastic PDEs of curvature driven diffusion, as well as certain stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equations. We introduce the new notion of "$n$-fold" derivatives of a random field, as a fundamental device to cope with the special self-exciting nature. Unlike our previous work \cite{Buckdahn_Ma_02}, our new expansion can be defined around any random time-space point $( ,ξ)$, where the temporal component $ $ does not even have to be a stopping time. Moreover, the exceptional null set is independent of the choice of the random point $( ,ξ)$. As an application, we show how this new form of pathwise Taylor expansion could lead to a different treatment of the stochastic characteristics for a class of fully nonlinear SPDEs whose diffusion term involves both the solution and its gradient, and hence lead to a definition of the {\it stochastic viscosity solution} for such SPDEs, which is new in the literature.

연구 동기 및 목표

• 해의 값과 그 공간 도함수에 모두 의존하는 확산을 갖는 이토 랜덤 필드에 대해 경로 기반 스트로크-테일러 전개를 확장한다.
• 전개의 기준점 $(\tau,\xi)$가 정지시간이어야 한다는 제약 조건을 제거하여 임의의 랜덤 점을 허용한다.
• 전개에서 발생하는 특이 집합이 $(\tau,\xi)$의 선택과 무관하게 동일하게 유지되도록 보장하여 전개의 일반성과 적용 가능성 향상.
• 새로운 전개를 활용해 기울기 의존성 확산 계수를 갖는 완전 비선형 스토크라스틱 편미분방정식(S(P)DE)에 대한 스토크라스틱 점성해를 정의하고 분석한다.
• 예측 가능한 스토크라스틱 미적분 설정에서 이전의 도스-수스만 변환의 한계를 극복한다.

제안 방법

• 자기흥동 성질을 갖는 확산 항을 다루기 위해 랜덤 필드의 $n$중 도함수 개념을 도입한다.
• 특정 정지시간이 아니어도 되는 임의의 랜덤 점 $(\tau,\xi)$를 중심으로 경로 기반 테일러 전개를 구성한다.
• 모든 랜덤 점에 대해 동일한 특이 집합을 사용하여, 전개가 모든 이러한 점에서 거의 확실히 성립하도록 보장한다.
• 시험 필드 $\varphi$와 관련된 스토크라스틱 플로우를 통해 과정 $\phi_t$를 정의함으로써, 스토크라스틱 특성선 沿해의 평가를 가능하게 한다.
• $u(t, \phi_t(x, D\psi(t,x)))$에 전개를 적용하고, 이를 통해 점성하위해 성질을 위한 조건을 유도한다.
• 전개의 나머지 항을 활용하여 임의의 랜덤 점 $(\tau,\xi)$에서 $u$와 $\varphi$를 비교함으로써, 해가 스토크라스틱 점성하위해 조건을 만족함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해의 값과 그 공간 도함수에 모두 의존하는 확산을 갖는 이토 랜덤 필드에 대해 경로 기반 스트로크-테일러 전개를 구성할 수 있는가?
• RQ2 전개 기준점 $(\tau,\xi)$가 정지시간이 아니어도 되는 임의의 랜덤 시공간 쌍일 경우 전개가 여전히 성립하는가?
• RQ3 모든 랜덤 전개 기준점에 대해 동일한 특이 집합을 구성할 수 있는가? 이를 통해 전개의 일반성 확보가 가능한가?
• RQ4 이러한 일반 전개를 어떻게 활용하여 기울기 의존성 확산 계수를 갖는 완전 비선형 스토크라스틱 편미분방정식(S(P)DE)에 대한 스토크라스틱 점성해를 정의하고 분석할 수 있는가?
• RQ5 새로운 전개가 예측 가능한 스토크라스틱 미적분 설정에서 이전의 도스-수스만 변환의 한계를 극복할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 자기흥동 확산을 갖는 이토 랜덤 필드에 대해 임의의 랜덤 시공간 점 $(\tau,\xi)$를 중심으로 유의미하게 성립하는 일반적인 경로 기반 스트로크-테일러 전개를 확립하였으며, 특이 집합이 $(\tau,\xi)$의 선택과 무관하다.
• 전개는 랜덤 필드의 $n$중 도함수를 사용하여 구성되며, 확산 계수의 순환적이고 자기흥동적인 구조를 다룰 수 있도록 한다.
• 이 방법은 해의 값과 그 기울기를 모두 포함하는 확산 계수를 갖는 완전 비선형 스토크라스틱 편미분방정식(S(P)DE)에 대한 스토크라스틱 점성해의 정의를 가능하게 하여, 문헌에 새로운 기여를 한다.
• 전개를 통해 고전적 해 $u$가 $f(\xi, (u,Du,D^2u)(\tau,\xi)) - \theta(\tau,\xi) \geq 0$가 거의 확실히 왼쪽 최대값 집합에서 성립함을 보여, 스토크라스틱 점성하위해 조건을 만족함을 입증한다.
• 동일한 추론이 상위해에 대해서도 적용되어, $u$가 스토크라스틱 점성해임을 입증함으로써, 기울기 의존성 스토크라스틱 편미분방정식에 대한 새로운 해 개념을 확립한다.
• 자기흥동 케이스에서 실패하는 도스-수스만 변환에 의존하지 않고, 일반적인 특이 집합을 갖는 새로운 경로 기반 전개를 사용함으로써 접근 방식을 회피한다.