[논문 리뷰] Pathwise Viscosity Solutions of Stochastic PDEs and Forward Path-Dependent PDEs

Rainer Buckdahn, Jin Ma외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기울기 의존성 확산을 갖는 완전 비선형 전진 확률 편미분방정식(forward stochastic PDEs)에 대해 Dupire의 경로별 분석과 경로별 확률적 Taylor 전개를 활용하여 새로운 경로별 점성해의 개념을 도입한다. 일반적인 계수 조건 하에서 존재성, 유일성, 안정성 및 비교 원리 등 잘 정의된 문제의 성립을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper we propose a new notion of pathwise viscosity solution for a fairly large class of fully nonlinear (forward) Stochastic PDEs whose diffusion term is allowed to depend on both the solution and its gradient. With the help of the newly developed pathwise analysis in the sense of Dupire [10], we shall identify a forward SPDE as a Path-dependent PDE. We then propose a notion of (pathwise) viscosity solution to the PPDE in terms of the pathwise stochastic Taylor expansion, developed in our previous work [5] within Dupire’s pathwise analysis paradigm. Under some general assumptions on the coefficients, we prove the wellposedness of the viscosity solution: consistency, stability, existence, comparison principle and uniqueness.

연구 동기 및 목표

• 기울기 의존성 확산을 갖는 전진 확률 PDEs의 점성해를 위한 새로운 프레임워크를 개발하는 것.
• Dupire의 경로별 분석의 관점에서 전진 SPDEs와 경로 의존성 PDEs(PPDEs)를 연결하는 것.
• 이전 연구 [5]에서 얻은 경로별 확률적 Taylor 전개를 통해 경로별 점성해를 정의하는 것.
• 존재성, 유일성 및 안정성을 포함한 해 개념의 잘 정의됨을 확립하는 것.
• 일반적인 계수 가정 하에서 제안된 점성해에 대해 비교 원리를 증명하는 것.

제안 방법

• 확률측도 가정 없이 확률과정의 표본 경로를 분석하기 위해 Dupire의 경로별 Itô 미적분을 활용한다.
• 경로별 분석을 통해 전진 SPDE를 경로 의존성 PDE(PPDE)로 표현한다.
• 이전 연구 [5]에서 얻은 경로별 확률적 Taylor 전개를 이용해 경로별 점성해를 정의한다.
• 확률적 기대값을 피하기 위해 PPDE에 대해 경로별 관점에서 점성해의 개념을 적용한다.
• 경로별 구조에 기반한 비교 원리 논증을 통해 유일성을 증명한다.
• 경로별 변화에 의한 분석을 통해 해 개념의 일致성과 안정성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울기 의존성 확산을 갖는 전진 SPDEs에 대해 경로별로 점성해를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 어떤 방식으로 경로별 분석을 통해 전진 SPDEs를 경로 의존성 PDE로 해석할 수 있는가?
• RQ3 제안된 경로별 점성해의 잘 정의됨을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 경로별 확률적 Taylor 전개가 점성해의 정의에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 전진 SPDEs의 경로별 점성해에 대해 비교 원리를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 경로별 점성해 개념은 존재할 경우 고전적 해와 일致한다.
• 계수 및 해의 근사 수열의 균일 수렴 조건 하에서 해 개념이 안정하다.
• SPDE의 계수에 대한 일반적인 가정 하에서 경로별 점성해의 존재성이 확립된다.
• 경로별 점성해에 대해 비교 원리가 성립하여 유일성이 보장된다.
• 제시된 가정 하에서 유계이고 연속인 함수들 사이에서 해는 유일하다.
• 이 프레임워크는 기울기 의존성 확산을 갖는 광범위한 완전 비선형 전진 SPDE 클래스에 적용 가능하다.