[논문 리뷰] Pattern avoidance in circular permutations

David Callan|ArXiv.org|2002. 10. 01.

Genome Rearrangement Algorithms참고 문헌 1인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 1324, 1342, 1234와 같은 단일 4글자 패턴을 피하는 $[n]$ 위의 순환 순열의 수에 대한 명시적 공식을 제공한다. $n-1$의 위치에 기반한 구조적 분석과 재귀 관계를 통해 닫힌 형태의 해를 유도한다: 1324에 대해서는 $F_{2n-3}$, 1342에 대해서는 $2^{n-1} - (n-1)$, 1234에 대해서는 $2^n + 1 - 2n - \binom{n}{3}$이며, 각각의 성장률은 $\phi^2 \approx 2.618$, $2$, $2$이다.

ABSTRACT

Circular permutations on {1,2,...,n} that avoid a given pattern correspond to ordinary (linear) permutations that end with n and avoid all cyclic rotations of the pattern. Three letter patterns are all but unavoidable in circular permutations and here we give explicit formulas for the number of circular permutations that avoid one four letter pattern. In the three essentially distinct cases, the counts are as follows: the Fibonacci number F_{2n-3} for the pattern 1324, 2^{n-1}-(n-1) for 1342, and 2^{n}+1-2n-{n}choose{3} for 1234.

연구 동기 및 목표

• [$[n]$ 위의 순환 순열 중 단일 4글자 패턴을 피하는 순열의 정확한 수를 결정하는 것.
• 1324, 1342, 1234를 피하는 순열의 수에 대한 닫힌 형태의 식을 도출하는 것.
• 특히 $n-1$의 위치에 초점을 맞춰, 순환 순열에서 패턴 피하기가 유도하는 구조적 제약을 분석하는 것.
• 재귀 관계를 설정하고, 피보나치 수나 이진 수열과 같은 알려진 조합적 대상과의 이분사적 연결을 수립하는 것.

제안 방법

• $n-1$의 위치 $k$에 기반한 구조적 분해로, $k=1$, $k=2$, $k \geq 3$의 경우로 나누어진다.
• 이분사적 적용: 1324를 피하는 순열에 대해, 연속된 1을 피하는 0-1 수열로의 이분사적 사상이 확립되어 피보나치 수와 연결된다.
• 1342를 피하는 순열에 대해선 특정 제약 조건을 가진 0-1 수열을 사용한 재귀적 구성이 이루어지며, $2^{n-2} - 1$을 포함하는 재귀 관계로 이어진다.
• 1234를 피하는 순열에 대해선 내림차순 제약 조건이 있는 부분수열에서의 이항계수를 통한 수량 세기 방법을 사용한다.
• 순환 순열을 $n$을 삭제하고 레이블을 조정함으로써 더 작은 인스턴스로 환원하며, 패턴 피하기 성질을 유지한다.
• 조합적 항등식을 사용해 구성 요소들을 합산하고 닫힌 형태의 해를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 [$[n]$ 위의 순환 순열 중 1324 패턴을 피하는 순열의 정확한 수는 얼마인가?
• RQ2 [$[n]$ 위의 순환 순열 중 1342 패턴을 피하는 순열은 몇 개인가? 이 수를 가능하게 하는 구조는 무엇인가?
• RQ3 [$[n]$ 위의 순환 순열 중 1234 패턴을 피하는 순열의 수는 얼마이며, 순열의 구조는 이 수에 어떻게 제약을 가하는가?
• RQ4 $n \to \infty$일 때, 1324-, 1342-, 1234-피하는 순환 순열의 수에 대해 나타나는 성장 상수는 무엇인가?

주요 결과

• 1324를 피하는 순환 순열의 수는 피보나치 수 $F_{2n-3}$이며, 성장률은 $\phi^2 \approx 2.618$이다.
• 1342를 피하는 순환 순열의 수는 $2^{n-1} - (n-1)$이며, 지수 성장률은 2이다.
• 1234를 피하는 순환 순열의 수는 $2^n + 1 - 2n - \binom{n}{3}$이며, 성장률은 2이다.
• 1324를 피하는 순열에 대해선, 연속된 1을 피하고 0으로 시작하는 길이 $2n-3$인 0-1 수열로의 이분사적 사상이 확립되어 피보나치 수의 계산을 확인한다.
• 1342를 피하는 순열에 대해선, 정확히 하나의 1을 포함하지 않는 길이 $n-1$인 0-1 수열을 사용한 재귀적 이분사적 구성이 이루어져 $2^{n-1} - (n-1)$ 공식이 도출된다.
• 분석 결과, $w_1$, $w_2$, $w_3$ 부분수열의 순서와 간격 성질이 주어진 패턴을 피하는지 여부를 결정짓는다.