[논문 리뷰] Pattern-Avoiding (0,1)-Matrices

Richard A. Brualdi, Lei Cao|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 01.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 패턴을 피하는 (0,1)-행렬을 패턴을 피하는 순열의 일반화로 다루며, 123- 및 312-패턴을 피하는 데 중점을 둔다. n×n (0,1)-행렬에서 이러한 패턴을 피하는 1의 정확한 최댓값을 규명하고, 이러한 모든 행렬을 생성하는 구조적 알고리즘을 제공하며, 순열 행렬 포함과 총 지지 조건을 이용하여 그 구조적 및 조합적 성질을 특성화한다.

ABSTRACT

We investigate pattern-avoiding (0,1)-matrices as generalizations of pattern-avoiding permutations. Our emphasis is on 123-avoiding and 321-avoiding patterns for which we obtain exact results as to the maximum number of 1's such matrices can have. We also give algorithms when carried out in all possible ways, construct all of the pattern-avoiding matrices of these two types.

연구 동기 및 목표

• 순열에서의 패턴 피하기를 (0,1)-행렬으로 일반화하여 123 및 312 패턴에 중점을 두다.
• 123- 또는 312-패턴을 피하는 n×n (0,1)-행렬에서 가능한 1의 최댓값을 규명하다.
• 모든 이러한 패턴을 피하는 행렬을 생성하는 구조적 알고리즘을 개발하다.
• 총 지지 조건과 완전히 분해 불가능성 조건을 이용하여 이러한 행렬의 구조를 특성화하다.
• 패턴을 피하는 행렬의 행렬식과 조합론적 행렬 이론 간의 관계를 탐색하다.

제안 방법

• 모든 포함된 순열 행렬이 123-패턴을 피하는 (0,1)-행렬을 123-순열-피하는 것으로 정의한다.
• 유사하게, 포함된 순열 행렬이 312-패턴을 피하는 경우를 312-순열-피하는 것으로 정의한다.
• 모든 1이 행렬 내에서 어떤 유효한 순열 행렬에 포함되도록 보장하기 위해 총 지지 개념을 사용한다.
• 유효한 행 및 열 구성 요소를 탐색함으로써 체계적으로 123- 및 312-순열-피하는 행렬을 생성하는 알고리즘을 구축한다.
• 3개 요소 패턴에 대한 기존의 순열 패턴 피하기 결과, 특히 카탈란 수에 의한 수량화 결과를 활용한다.
• 모든 1로 이루어진 행렬 J_n을 역-그라스만니안 순열 행렬로 분해하는 행렬 분해 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 총 지지를 가지며 123-순열-피하는 n×n (0,1)-행렬에서 1의 최댓값은 얼마인가요?
• RQ2 총 지지를 가지며 312-순열-피하는 n×n (0,1)-행렬에서 1의 최댓값은 얼마인가요?
• RQ3 123- 및 312-순열-피하는 모든 (0,1)-행렬을 알고리즘적 방법으로 체계적으로 생성할 수 있는가요?
• RQ4 완전히 분해 불가능한 (0,1)-행렬 중에서 123- 또는 312-순열-피하는 행렬의 최대 행렬식은 얼마인가요?
• RQ5 집합 {1,…,n}의 부분집합에서 σ-피하는 부분 순열은 어떤 조건에서 전체 σ-피하는 순열로 확장될 수 있는가요?

주요 결과

• 총 지지를 가지며 123-순열-피하는 n×n (0,1)-행렬에서 1의 최댓값은 정확히 2n−1이다.
• 총 지지를 가지며 312-순열-피하는 n×n (0,1)-행렬에서 1의 최댓값 역시 정확히 2n−1이다.
• 유효한 행 구성 요소를 재귀적으로 구축함으로써 모든 123-순열-피하는 (0,1)-행렬을 생성하는 명시적 알고리즘이 제시된다.
• 유사한 재귀적 행 구성 방법을 사용하여 모든 312-순열-피하는 (0,1)-행렬을 생성하는 명시적 알고리즘이 제시된다.
• 특정 블록 구조를 가진 행렬(예: n=5일 때 영상에서 보인 바와 같이 행렬식이 12인 경우)은 최대 312-피하는 행렬식을 달성할 것이라 추측된다.
• 123- 또는 312-피하기 조건 하에서 모든 1로 이루어진 행렬 J_n의 행렬식은 카탈란 수 C_n = (2n choose n)/(n+1)가 된다.