[논문 리뷰] Pattern restricted quasi-Stirling permutations

Kassie Archer, Adam Gregory외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 19.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 멀티세트 {1,1,2,2,…,n,n}의 순열 중 1212 및 2121 패턴을 피하는, 스틸링 순열의 자연스러운 일반화인 준스틸링 순열을 도입한다. 저자들은 이러한 순열과 순서 있는 루트가 있는 레이블이 부여된 트리 사이의 일대일 대응을 확립하고, 다양한 패턴 회피 조건 하에서 이를 세며, 크기가 2 이상인 3-패턴의 모든 집합에 대한 완전한 분류를 제공한다. 주요 결과로는, 네 가지 특정 3-패턴을 피할 경우, 집합에 따라 정확히 3개 또는 2개의 순열이 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

We define a variation of Stirling permutations, called quasi-Stirling permutations, to be permutations on the multiset $\{1,1,2,2,\ldots, n,n\}$ that avoid the patterns 1212 and 2121. Their study is motivated by a known relationship between Stirling permutations and increasing ordered rooted labeled trees. We construct a bijection between quasi-Stirling permutations and the set of ordered rooted labeled trees and investigate pattern avoidance for these permutations.

연구 동기 및 목표

• 새로운 순열 클래스인 준스틸링 순열을 정의하고 연구하는 것—이는 1212 및 2121 패턴을 피하는 순열이다.
• 기존의 스틸링 순열-트리 대응을 일반화하는 바탕으로, 준스틸링 순열과 순서 있는 루트가 있는 레이블이 부여된 트리 사이의 일대일 대응을 확립하는 것.
• 특히 3-패턴 집합에 대한 조건 하에서 준스틸링 순열을 세는 것.
• 이 순열들에서 '평탄한 부분'(연속적인 반복 요소)의 수를 조사하고, 이를 트리의 리프 구조와 연관짓는 것.
• 패턴 세기, 통계(예: 내림차순 수), 모델의 일반화와 관련된 열린 문제를 규명하는 것.

제안 방법

• 준스틸링 순열을 {1,1,2,2,…,n,n}의 순열 중에서 1212 및 2121 패턴을 피하는 것으로 정의한다.
• 깊이 우선 탐색을 통해 간선 아래에 있는 정점을 기록하는 방식으로, [n] 위의 순서 있는 루트가 있는 레이블이 부여된 트리와 준스틸링 순열 사이의 일대일 대응 φ를 구성한다.
• 얻어진 순열에서 1212 및 2121 패턴의 회피 조건을 트리의 구조를 이용해 특성화한다.
• 생성 함수와 트리의 리프 수에 관한 기존 결과를 포함한 조합적 세기 기법을 적용하여 정확한 공식을 유도한다.
• 순서 있는 루트가 있는 레이블이 부여되지 않은 트리에서 리프가 k개인 경우의 수에 관한 기존 결과를 활용하여, 정확히 k개의 평탄한 부분을 가진 준스틸링 순열의 수를 유도한다.
• 재귀적이고 구조적인 추론을 활용하여 특정 3-패턴 집합을 피하는 순열을 세며, 123 또는 321만 允를 허용하는 경우를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 2 이상인 3-패턴의 모든 집합을 피하는 준스틸링 순열의 수는 얼마인가?
• RQ2 집합 {123,132,231,312}를 피하는 준스틸링 순열은 몇 개인가? 그리고 이러한 순열의 구조는 어떠한가?
• RQ3 정확히 k개의 평탄한 부분을 가진 준스틸링 순열의 수는 얼마이며, 이는 트리의 리프 수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 123 또는 321과 같은 단일 3-패턴을 피하는 준스틸링 순열의 수를 세는 것이 가능한가? 만약 가능하다면, 어떤 점화식 또는 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ5 준스틸링 순열의 내림차순 수와 루트가 있는 포레스트와 같은 알려진 조합적 구조 사이에 연결 고리가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 n ≥ 3에 대해 집합 {123,132,231,312}를 피하는 준스틸링 순열의 수는 정확히 3개이다.
• 모든 n ≥ 3에 대해 집합 {132,213,231,312}를 피하는 준스틸링 순열의 수는 정확히 2개이며, 이는 완전히 증가하거나 완전히 감소하는 순열에 해당한다.
• 정확히 k개의 평탄한 부분을 가진 준스틸링 순열의 수는 공식 $\frac{n!}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}$ 으로 주어진다.
• 모든 n ≥ 5에 대해 집합 {123,132,213,231,321}를 피하는 준스틸링 순열의 수는 0이다.
• 모든 n ≥ 3에 대해 집합 {123,132,213,231,312}를 피하는 준스틸링 순열의 수는 정확히 1개이며, 이는 감소하는 순열에 해당한다.
• 저자들은 정확히 n−1개의 내림차순을 가진 준스틸링 순열의 수가 $ (n+1)^{n-1} $임을 추측하며, 이는 n개의 정점에서 이루어진 루트가 있는 순서 없는 포레스트의 수와 일치한다.