[논문 리뷰] Patterns in column strict fillings of rectangular arrays

Johannes Harmse, Jeffrey B. Remmel|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 열이 증가하는 $k \times n$ 직사각형 배열의 열 엄격 채우기에서 패턴 매칭을 연구한다. 표준 표준표 $P$의 형상 $2^k$에 대해 $P$-매칭, 겹치지 않는 매칭, $P$-교번 채우기의 개념을 도입하고, 이들의 분포에 대한 생성함수를 유도하며, 형상 $2^n$의 표준 표준표와 길이 $n-1$의 모츠킨 경로 사이의 전단사 관계를 확립한다. 주요 결과로 윌프-동치와 특수 채우기의 수를 규명한다.

ABSTRACT

In this paper, we study pattern matching in the set F_{n,k} of fillings of the k x n rectangle with the integers 1,...,kn such that the elements in any column increase from bottom to top. Let P be a column strict tableau of shape 2^k. We say that a filling F in F_{n,k} has P-match starting at i if the elements of F in columns i and i+1 have the same relative order as the elements of P. We compute the generating functions for the distribution of P-matches and nonoverlapping P-matches for various classes of standard tableaux of shape 2^k. We say that a filling F in F_{n,k} is P-alternating if there are P-matches of F starting at all odd positions but there are no P-matches of F starting at even positions. We also compute the generating functions for P-alternating elements of F_{n,k} for various classes of standard tableaux of shape 2^k.

연구 동기 및 목표

• 패턴 매칭 개념을 순열에서 열이 증가하는 직사각형 배열의 채우기로 일반화한다.
• 표준 표준표 $P$의 형상 $2^k$에 대해 $\mathcal{F}_{n,k}$, 즉 열이 증가하는 $k\times n$ 채우기의 집합에서 $P$-매칭, 겹치지 않는 $P$-매칭, $P$-교번 채우기를 정의하고 분석한다.
• 형상 $2^k$의 표준 표준표 $P$에 대해 이러한 패턴 발생의 분포에 대한 생성함수를 계산한다.
• 형상 $2^n$의 표준 표준표와 길이 $n-1$의 모츠킨 경로 사이의 전단사 관계를 확립하여 조합적 수세기와 경로 수세기 간의 연결 고리를 형성한다.
• 윌프-동치와 보완 대칭성의 관점에서 $P$-매칭 분포를 탐색한다.

제안 방법

• 표준 표준표 $P$의 형상 $2^k$에 대해 $\mathcal{F}_{n,k}$를 정의한다. 이는 $1$에서 $kn$까지의 서로 다른 정수로 이루어지며, 각 열이 증가하는 $k\times n$ 채우기의 집합이다.
• 표준 표준표 $P$의 형상 $2^k$에 대해, $F\in\mathcal{F}_{n,k}$에서의 $P$-매칭을 정의한다. 이는 열 $i$와 $i+1$ 사이의 상대적 순서가 고정된 표준 표준표 $P$와 일치하는 경우를 의미한다.
• 채우기 간의 상대적 순서를 정규화하고 비교하기 위해 축소 채우기 $\mathrm{red}(F)$를 사용한다.
• 표준 표준표 $P$로부터 $F\in\mathcal{F}_{n,k}$의 셀 간의 의존성 구조를 모델링하기 위해 그래프 $G_{P,n}$를 구성하고, 이를 통해 셀의 부분순서 집합(poset) $\mathcal{W}_{P,n}$를 유도한다.
• 선형 확장의 일대일 대응을 통해 $\mathcal{W}_{P,n}$의 선형 확장과 $P$-교번 채우기 사이의 관계를 확립함으로써, 부분순서 집합의 선형 확장 수를 이용한 수세기 가능성을 확보한다.
• 일반화된 보완 연산 $F^{gc} = f_x \circ f_y \circ c(F)$를 적용하여 $P$와 $P^{gc}$가 $c$-윌프 동치임을 보이며, 분석 대상의 수를 줄인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 순열에서의 패턴 매칭 개념을 열이 증가하는 직사각형 배열의 채우기로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 형상 $2^k$의 표준 표준표 $P$에 대해 $\mathcal{F}_{n,k}$에서의 $P$-매칭 수에 대한 생성함수는 무엇인가?
• RQ3 $P$-매칭이 모든 홀수 시작 위치에서 발생하지만 짝수 위치에서는 발생하지 않는 $P$-교번 채우기의 생성함수는 무엇인가?
• RQ4 $P$의 구조와 $P$-교번 채우기의 수 사이의 관계는 무엇이며, 특히 부분순서 집합의 선형 확장 측면에서 어떻게 설명되는가?
• RQ5 보완과 같은 대칭성이 $P$-매칭 분포에 미치는 영향은 무엇이며, 이는 윌프-동치에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 형상 $2^n$의 표준 표준표와 길이 $n-1$의 모츠킨 경로 사이의 전단사 $\Gamma: St_{2^n} \to \mathcal{M}^{(2)}_{n-1}$ 가 존재하며, 이는 형상 $2^n$의 열거된 표준표의 수가 $n-1$-번째 모츠킨 수와 같다는 것을 증명한다.
• 형상 $2^k$의 열거된 표준 표준표 $P$에 대해, $P$와 $Q$는 강한 $c$-윌프 동치이다. 즉, $P$-매칭 생성함수 $D^P(t,x)$와 $D^Q(t,x)$가 동일하다.
• 일반화된 보완 연산은 $F^{gc} \in \mathcal{F}_{n,k}$ 이고 $P^{gc} \in St_{2^k}$ 이며, $F \in \mathrm{Full}_n^P$ 이다. $\Longleftrightarrow$ $F^{gc} \in \mathrm{Full}_n^{P^{gc}}$ 이다. 따라서 $\mathrm{full}_n^P = \mathrm{full}_n^{P^{gc}}$ 이며, 이는 $c$-윌프 동치를 의미한다.
• 그림 23에 나타난 비열거된 표준표 $Q$에 대해, $Q$-교번 채우기의 수는 $\mathrm{full}_n^Q = \frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$ 이며, 특정 부분순서 집합의 선형 확장 수를 재귀적으로 수세기하여 도출되었다.
• 그림 23에 나타난 표준표 $P$에 대해, 관련된 부분순서 집합의 구조를 광범위하게 분석했음에도 불구하고, $\mathrm{full}_n^P$에 대한 닫힌 형식의 공식은 아직 발견되지 않았다.
• 그래프 $G_{P,n}$에서 유도된 부분순서 집합 $\mathcal{W}_{P,n}$는 $P$-교번 채우기를 세는 선형 확장과 일대일 대응을 이룬다. 이는 부분순서 집합 이론을 활용한 수세기 가능성을 보장한다.