[논문 리뷰] Patterson-Sullivan measures and growth of relatively hyperbolic groups

Wenyuan Yang|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 28.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 53인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 비원소적 상대적으로 쌍곡군의 성장률이 그의 진부한 상대적으로 쌍곡군 몫들에 의한 성장률로 임의로 가까이 근사될 수 있음을 증명한다. Bowditch 경계에서의 Patterson-Sullivan 측도와 새로운 부분 그림자 보조정리(Partial Shadow Lemma)를 사용하여, 군의 성장률에 수렴하는 성장률을 갖는 지오데식 루트 트리를 구성하고, 이를 소형 쌍곡군 몫들에 매립함으로써 성장률의 수렴을 증명하며, 켈라인 군에서 임계 지수에 대한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We prove that for a relatively hyperbolic group G there is a sequence of relatively hyperbolic proper quotients such that their growth rates converge to the growth rate of G. Under natural assumptions, the same conclusion holds for the critical exponent of a cusp-uniform action of G on a hyperbolic metric space. As a corollary, we obtain that the critical exponent of a torsion-free geometrically finite Kleinian group can be arbitrarily approximated by those of quotient groups. This resolves a question of Dal'bo-Peigné-Picaud-Sambusetti. Our approach is based on the study of Patterson-Sullivan measures on Bowditch boundary of a relatively hyperbolic group. The uniqueness and ergodicity of Patterson-Sullivan measures are proved when the group is divergent. We prove a variant of the Sullivan Shadow Lemma, called Partial Shadow Lemma. This tool allows us to prove several results on growth functions of balls and cones. One central result is the existence of a sequence of geodesic trees with growth rates sufficiently close to the growth rate of G, and transition points uniformly spaced in trees. By taking small cancellation over hyperbolic elements of high powers, we can embed these trees into properly constructed quotients of G. This proves the results in the previous paragraph.

연구 동기 및 목표

• Dal’bo-Peigné-Picaud-Sambusetti 가 제기한 질문, 즉 토르션-프리 기하학적으로 유한한 켈라인 군의 임계 지수가 그의 진부한 몫들의 임계 지수로 임의로 근사될 수 있는지 여부를 해결하기 위해.
• 상대적으로 쌍곡군의 성장률이 그의 진부한 상대적으로 쌍곡군 몫들의 성장률의 극한임을 증명하기 위해.
• 상대적으로 쌍곡 설정에서 콘과 공의 성장 분석을 위해 새로운 도구인 부분 그림자 보조정리(Partial Shadow Lemma)를 개발하기 위해.
• 발산형 타입의 상대적으로 쌍곡군에 대해 Bowditch 경계에서 Patterson-Sullivan 측도의 유일성과 에르고딕성을 증명하기 위해.
• 성장률이 군의 성장률에 임의로 가까운 지오데식 루트 트리를 구성하고, 전이점들이 균일하게 분포된 상태로 만들며, 이를 소형 쌍곡군 몫들에 매립하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 상대적으로 쌍곡군의 Bowditch 경계에서 Patterson-Sullivan 측도를 분석하여, 발산형 타입 조건 하에서 그들의 유일성과 에르고딕성을 증명한다.
• 그들은 고전적 Sullivan 그림자 보조정리의 변형인 부분 그림자 보조정리(Partial Shadow Lemma)를 도입하여 군 내의 콘과 부분 콘의 성장률을 제어한다.
• 부분 그림자 보조정리를 사용하여, 군의 성장률로 수렴하는 성장률과 균일하게 분포된 전이점들을 갖는 지오데식 루트 트리를 구성한다.
• 이 트리는 큰 $ n $ 에 대해 $ G / \big\rrangle h^n \big\rrangle $ 형태의 소형 쌍곡군 몫들에 매립된다. 여기서 $ h $ 는 쌍곡 원소이다.
• 이 구성은 전이점의 기하적 제어와 군 내의 준지오데식 추적을 통해 확보된 부분 콘 유형의 유한성에 기반한다.
• 이 방법은 경계에서의 준등각 측도 밀도와 시각적 거리 측도를 활용하여 측도 이론적 성질을 성장 함수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대적으로 쌍곡군의 성장률은 그의 진부한 몫들의 성장률로 근사될 수 있는가?
• RQ2 쌍곡 거리 공간에서의 캄프-유니폼 작용의 임계 지수는 그의 진부한 몫들의 임계 지수로 근사될 수 있는가?
• RQ3 발산형 타입의 상대적으로 쌍곡군의 Bowditch 경계에서 Patterson-Sullivan 측도는 유일하고 에르고딕한가?
• RQ4 성장률이 군의 성장률에 임의로 가까운 지오데식 루트 트리로 전이점들이 균일하게 분포된 것은 구성될 수 있는가?
• RQ5 그러한 트리는 소형 쌍곡군 몫들에 매립되어 성장률 근사가 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 상대적으로 쌍곡군 $ G $ 의 진부한 상대적으로 쌍곡군 몫들의 수열 $ \bar{G}_n $ 이 존재하여 $ \boxed{\lim_{n \to \infty} \delta_{\bar{G}_n} = \delta_G} $ 를 만족한다.
• 토르션-프리 기하학적으로 유한한 켈라인 군의 임계 지수는 그의 진부한 몫 군들의 임계 지수로 임의로 근사될 수 있다.
• 발산형 타입의 상대적으로 쌍곡군의 Bowditch 경계에서 Patterson-Sullivan 측도는 유일하고 에르고딕하다.
• 부분 그림자 보조정리는 콘과 부분 콘의 성장률에 대한 정밀한 제어를 가능하게 하여 고성장 트리의 구성에 기여한다.
• $ (\epsilon,R) $-콘에 대해 부분 콘 유형의 유한성이 충분히 큰 $ R $ 에 대해 확립되며, 최대 $ N = N(\epsilon,R) $ 개의 유형이 존재한다.
• 성장률이 $ \delta_G $ 에 임의로 가까운 지오데식 루트 트리로 전이점들이 균일하게 분포된 트리를 구성하고, 이를 소형 쌍곡군 몫들에 매립할 수 있다.