[논문 리뷰] Pauli topological subsystem codes from Abelian anyon theories

Tyler D. Ellison, Yu-An Chen외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 차원에서 임의의 아벨 anyon 이론, 특히 비퇴화 braiding를 가질 수 있고 진공으로의 가시 경계가 없는 이론들까지 포함하여, 특정 anyon 유형을 위상적 안정자 코드에서 게이지화함으로써 파울리 위상적 부분계측 코드를 구성한다. 핵심 기여는 모든 아벨 anyon 이론이 토릭 코드와 일반화된 날개 달린 양자 이중체의 스택의 부분이론임을 증명함으로써, 큐비트 기반 안정자 코드를 초월해 복합 차원의 큸디트까지 확장된 파울리 위상적 부분계측 코드의 분류를 확장하는 것이다.

ABSTRACT

We construct Pauli topological subsystem codes characterized by arbitrary two-dimensional Abelian anyon theories--this includes anyon theories with degenerate braiding relations and those without a gapped boundary to the vacuum. Our work both extends the classification of two-dimensional Pauli topological subsystem codes to systems of composite-dimensional qudits and establishes that the classification is at least as rich as that of Abelian anyon theories. We exemplify the construction with topological subsystem codes defined on four-dimensional qudits based on the $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ anyon theory with degenerate braiding relations and the chiral semion theory--both of which cannot be captured by topological stabilizer codes. The construction proceeds by "gauging out" certain anyon types of a topological stabilizer code. This amounts to defining a gauge group generated by the stabilizer group of the topological stabilizer code and a set of anyonic string operators for the anyon types that are gauged out. The resulting topological subsystem code is characterized by an anyon theory containing a proper subset of the anyons of the topological stabilizer code. We thereby show that every Abelian anyon theory is a subtheory of a stack of toric codes and a certain family of twisted quantum doubles that generalize the double semion anyon theory. We further prove a number of general statements about the logical operators of translation invariant topological subsystem codes and define their associated anyon theories in terms of higher-form symmetries.

연구 동기 및 목표

• 큐비트 기반 안정자 코드를 초월해 복합 차원의 크디트를 포함한 두 차원 파울리 위상적 부분계측 코드의 분류를 확장하는 것.
• 비퇴화 braiding 관계나 진공으로의 가시 경계가 없는 모든 아벨 anyon 이론이 부분계측 코드로서 실현될 수 있음을 보이는 것.
• 위상적 안정자 코드에서 특정 anyon 유형을 게이지화함으로써 체계적인 구성 방법을 확립하는 것.
• 고차 형 대칭을 사용하여 이동 불변 부분계측 코드의 논리 연산자와 anyon 이론을 특성화하는 것.
• 기존의 위상적 안정자 코드로는 포착되지 않는 anyon 이론, 예를 들어 $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ 및 캐리컬 세미온 이론을 포함한 결과 코드가 이러한 anyon 이론을 실현함을 보여주는 것.

제안 방법

• 위상적 안정자 코드에서 특정 anyon 유형을 게이지화함으로써 구성이 진행되며, 이는 게이지화할 anyon에 대한 스트링 연산자를 안정자 군에 추가하여 정의된다.
• 결과로 얻어진 부분계측 코드는 원래 안정자 코드의 anyon 이론의 진정한 부분이론이 되는 anyon 이론을 특성화한다.
• 이 방법은 임의의 아벨 anyon 이론을 토릭 코드와 일반화된 날개 달린 양자 이중체의 스택의 부분이론으로 실현하기 위해 날개 달린 양자 이중체(TQD)의 구조를 활용한다.
• 부분계측 코드의 anyon 이론은 부모 안정자 코드의 anyon 이론의 라그랑주 부분군에서 유도되며, 이는 위상적 순서와 논리 큐비트 보호를 보장한다.
• 고차 형 대칭은 이동 불변 부분계측 코드에서 논리 연산자를 정의하고 분류하는 데 사용된다.
• 이 구성 방법은 $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ 및 캐리컬 세미온 anyon 이론과 같은 구체적 예시에 적용되었으며, 이러한 이론들은 위상적 안정자 코드로는 실현될 수 없다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 두 차원 아벨 anyon 이론, 비퇴화 braiding 관계를 가진 이론까지 포함하여, 파울리 위상적 부분계측 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 큐비트 기반 안정자 코드를 초월해 복합 차원의 크디트에서도 이러한 코드를 실현할 수 있는가?
• RQ3 진공으로의 가시 경계가 없는 anyon 이론에 대해서도 부분계측 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ4 특정 anyon 유형을 안정자 코드에서 게이지화함으로써 어떤 방식으로 새로운 부분계측 코드가 만들어지고, 그 anyon 이론이 감소하는가?
• RQ5 고차 형 대칭은 이동 불변 위상적 부분계측 코드의 논리 연산자를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 모든 아벨 anyon 이론이 토릭 코드와 일반화된 날개 달린 양자 이중체(GTQD)의 스택의 부분이론임을 증명함으로써, 복합 차원의 크디트까지 확장된 파울리 위상적 부분계측 코드의 분류를 확장한다.
• $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ anyon 이론은 비퇴화 braiding 관계를 가지며, 기존의 위상적 안정자 코드로는 포착되지 않는 위상적 부분계측 코드로서 실현된다.
• 캐리컬 세미온 anyon 이론 역시 부분계측 코드로서 실현되며, 이러한 비아벨적 성격을 띤 아벨 이론(아벨적 의미에서)이 부분계측 코드를 통해 접근 가능하다는 것을 보여준다.
• 결과로 얻어진 부분계측 코드의 anyon 이론은 부모 안정자 코드의 anyon 이론의 라그랑주 부분군에서 유도되며, 이는 위상적 순서와 논리 보호를 보장한다.
• 특정 anyon 유형을 게이지화함으로써 구성된 이 방법은 위상적 순서를 유지하면서도 원하는 부분이론으로 anyon 구성 요소를 감소시키는 일관된 프레임워크를 제공한다.
• 이동 불변 부분계측 코드의 논리 연산자는 고차 형 대칭을 통해 완전히 특성화되었으며, 이는 논리 연산을 분류하는 일반적 프레임워크를 제공한다.