[논문 리뷰] Peak Estimation and Recovery with Occupation Measures

Jared Miller, Didier Henrion외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 14.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 20인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 동적 시스템에서 피크 추정을 위해 직업 측도를 사용하는 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 이는 최적 해로의 수렴과 질량 행렬의 랭크 결함성에 기반한 근사 최적 궤적 복원을 가능하게 한다. 이 방법은 안전성 분석을 위한 최소화 목표로 확장되며, 궤적의 안전성을 증명하는 음의 안전 마진을 제공한다. 수렴은 모멘트-SOS 계층 구조를 통해 보장되며, 수치 예제를 통해 검증된다.

ABSTRACT

Peak Estimation aims to find the maximum value of a state function achieved by a dynamical system. This problem is non-convex when considering standard Barrier and Density methods for invariant sets, and has been treated heuristically by using auxiliary functions. A convex formulation based on occupation measures is proposed in this paper to solve peak estimation. This method is dual to the auxiliary function approach. Our method will converge to the optimal solution and can recover trajectories even from approximate solutions. This framework is extended to safety analysis by maximizing the minimum of a set of costs along trajectories.

연구 동기 및 목표

• 비선형 동적 시스템에서 직업 측도를 사용하여 볼록적이고 수렴 가능한 피크 추정 방법을 개발한다.
• 랭크 결함성 있는 모멘트 행렬을 통한 근사 해로부터 근사 최적 궤적을 복원할 수 있도록 한다.
• 피크 추정 문제를 강건한 안전성 분석을 위해 다수의 비용 함수의 최소값을 최대화하는 목표로 확장한다.
• 최대화-최소화 프로그램에서의 음의 최적 값이 궤적의 안전성을 증명하는 안전 마진으로 기능하도록 한다.

제안 방법

• 피크 추정 문제를 직업 측도 위에서의 무한차원 선형 프로그래밍(LP)으로 공식화한다.
• 무한차원 LP를 점차 정확도가 향상되는 유한차원 정수형 프로그래밍(SDP)으로 단순화하기 위해 모멘트-SOS 계층 구조를 사용한다.
• 모멘트 행렬의 근사 랭크-1 구조에 기반한 복원 알고리즘을 적용하여 근사 최적 궤적을 추출한다.
• 최소값을 둘 이상의 비용 함수로 제한하기 위해 부가 변수와 쌍대 변수를 도입함으로써 프레임워크를 최대화-최소화 목표로 확장한다.
• 최대화-최소화 공식화의 쌍대 문제를 유도하여 안전성 증명을 위한 장벽 유사 함수를 도출한다.
• 차수를 점차 높이는 LMI 근사화를 통해 감소하는 상한의 수열을 생성하여 진짜 최적값으로 수렴시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직업 측도는 비선형 상미분 방정식에서 피크 추정을 위한 볼록적이고 수렴 가능한 공식화를 제공할 수 있는가?
• RQ2 직업 측도 프레임워크에서 근사 해로부터 근사 최적 궤적을 어떻게 복원할 수 있는가?
• RQ3 피크 추정 문제를 다수의 비용 함수의 최소값을 최대화하는 목표로 확장할 수 있는가? 이는 강건한 안전성 분석을 위해 유용한가?
• RQ4 최대화-최소화 근사화에서의 음의 최적 값이 궤적의 안전성을 증명하는 증거로 기능할 수 있는가?
• RQ5 모멘트 행렬의 랭크 결함성이 궤적 복원에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 LMI 근사화의 계층 구조를 통해 진짜 피크 값 P∗로 수렴하며, 차수 d가 증가함에 따라 감소하는 경향을 보이는 bound p∗d를 제공한다.
• d=3일 때, 비자율 시스템 (23)에서 최대화-최소화 목표 min(x1,x2)에 대해 bound 0.3891을 달 đạt했으며, 최적의 β=[0.647,0.353]는 균형 잡힌 비용 성능을 나타낸다.
• 모멘트 행렬 M1(y)의 두 번째로 큰 고유값은 2.943×10−6이었으며, 이는 알고리즘 1을 통한 궤적 복원에 적합한 근사 랭크-1 구조를 나타낸다.
• θ=5π/4일 때 안전성 예제에서 안전 마진 p∗5=−0.1417<0이 도출되어 모든 궤적이 안전하지 않은 영역을 벗어나 있음을 증명했다.
• 비안전 상태일 경우(θ=3π/4), p∗5=0.1935>0로 도출되어 적어도 하나의 궤적이 안전하지 않은 영역에 진입했음을 나타내었으며, 이는 시각적 검토와 일치한다.
• 복원 알고리즘이 최대화-최소화 문제에 대해 근사 최적 궤적을 성공적으로 추출하였으며, t∗p=2.19일 때 x∗p=[0.493,0.029]로 최소 비용 0.3891을 달성하였다.