[논문 리뷰] Penalising symmetric stable Lévy paths

Kouji Yano, Yuko Yano외 1명|ArXiv.org|2008. 07. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $1 < \alpha \leq 2$ 인 대칭 안정 레비 과정에 대한 페널티 이론을 개발하며, 브라운 운동의 경우($\alpha = 2$)와 유사한 극한 정리들을 통합하는 보편적인 $\sigma$-유한 측도 $\mathscr{P}$ 를 도입한다. $\mathscr{P}$ 하에서 마팅게일 생성자 $M_{t,x}(F)$ 를 구성함으로써 국소 시간과 지수 점유 시간에 대한 가중 기능에 대한 정규화된 극한 측도를 특성화하며, 거의 확실 수렴과 브라운 운동 페널티 프레임워크를 일반화한 초마팅게일의 분해를 증명한다.

ABSTRACT

Limit theorems for the normalized laws with respect to two kinds of weight functionals are studied for any symmetric stable Lévy process of index $ 1 &lt; α\le 2 $. The first kind is a function of the local time at the origin, and the second kind is the exponential of an occupation time integral. Special emphasis is put on the role played by a stable Lévy counterpart of the universal $ σ$-finite measure, found in [9] and [10], which unifies the corresponding limit theorems in the Brownian setup for which $ α=2 $.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동($\alpha = 2$)의 페널티 프레임워크를 일반적인 대칭 안정 레비 과정($1 < \alpha \leq 2$)으로 확장한다.
• 브라운 브리지 측도 $\mathscr{W}$ 와 유사한 보편적인 $\sigma$-유한 측도 $\mathscr{P}$ 를 도입하여 다양한 가중 기능에 대한 극한 정리를 통합한다.
• 국소 시간과 지수 점유 시간에 기반한 가중 기능에 대한 정규화된 극한 측도를 측도 $\mathscr{P}$ 를 통해 특성화한다.

제안 방법

• 새로운 $\sigma$-유한 측도 $\mathscr{P} = \frac{\Gamma(1/\alpha)}{\alpha\pi}\int_0^\infty \frac{du}{u^{1/\alpha}} Q^{(u)} \bullet P^h_0$ 를 정의하며, 여기서 $Q^{(u)}$ 는 브리지 법칙이고 $P^h_0$ 는 $|x|^{\alpha-1}$ 에 대한 $h$-경로 과정이다.
• 마팅게일 생성자 $M_{t,x}(F)$ 를 $\mathscr{P}_x$ 하에서 $F$ 의 $P_x$-조건부 기댓값으로 정의하여 $M_{t,x}(F) \to 0$ $P_0$-거의확실하게 성립하고, $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-거의확실하게 성립함을 보장한다.
• 이토의 외출 측도 $n$ 과 국소 시간 $L_t$ 를 사용하여 안정 과정을 분해하고, $\{R > t\}$ 에서 외출 측도를 정규화하여 메이앤더 분포 $M^{(t)}$ 를 유도한다.
• 임의의 음이 아닌 $\mathscr{P}_x$-적분 가능한 기능 $F$ 에 대해, 과정 $M_{t,x}(F)$ 는 음이 아닌 $P_x$-마팅게일이며 $P_x$-거의확실하게 0으로 수렴하고, $\mathscr{P}$-거의확실하게 정규화된 형태로 $F$ 로 수렴함을 증명한다.
• 비음수 $P_0$-초마팅게일 $N_t$ 를 세 부분으로 분해한다: 마팅게일 부분 $M_{t,x}(F)$, 유일한 적분 가능성을 갖는 마팅게일 부분 $P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t]$, 그리고 거의확실하게나 정규화된 형태로 0으로 수렴하는 잔여 부분 $\xi_t$.
• 수렴 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-거의확실하게 성립함을 응용하여, 페널티 문제에서의 극한 측도 $P^\Gamma_x$ 가 $P^\Gamma_x = \Gamma_\infty \cdot \mathscr{P}_x / \mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]$ 로 주어짐을 증명함으로써 극한을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 안정 레비 과정에 대한 페널티 문제는 브라운 운동의 경우와 유사한 보편적인 $\sigma$-유한 측도 $\mathscr{W}$ 와 유사한 측도로 통합될 수 있는가?
• RQ2 국소 시간 또는 지수 점유 시간에 기반한 가중 기능 $\Gamma_t$ 에 대해, $\mathcal{F}_s$ 에 沿해 $t \to \infty$ 일 때 정규화된 측도 $\Gamma_t \cdot P_x / P_x[\Gamma_t]$ 가 거의확실하게 수렴하는가?
• RQ3 보편 측도 $\mathscr{P}_x$ 하에서 마팅게일 생성자 $M_{t,x}(F)$ 를 통해 극한 측도 $P^\Gamma_x$ 를 특성화할 수 있는가?
• RQ4 임의의 비음수 $P_0$-초마팅게일은 $\mathscr{P}$-적분 가능한 기능에 대응하는 부분, $P_0$-적분 가능한 종단값에 대응하는 부분, 그리고 거의확실하게나 정규화된 형태로 0으로 수렴하는 잔여 부분으로 분해될 수 있는가?

주요 결과

• 보편적인 $\sigma$-유한 측도 $\mathscr{P}$ 는 $\frac{\Gamma(1/\alpha)}{\alpha\pi}\int_0^\infty \frac{du}{u^{1/\alpha}} Q^{(u)} \bullet P^h_0$ 로 구성되며, 브라운 브리지 측도 $\mathscr{W}$ 와 대응되는 안정 레비 과정의 측도로 기능한다.
• 임의의 음이 아닌 $\mathscr{P}_x$-적분 가능한 기능 $F$ 에 대해, 과정 $M_{t,x}(F)$ 는 음이 아닌 $P_x$-마팅게일이며 $t \to \infty$ 일 때 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-거의확실하게 성립함을 보여, 핵심 수렴 성질을 확립한다.
• 페널티 문제에서의 극한 측도 $P^\Gamma_x$ 는 $P^\Gamma_x = \Gamma_\infty \cdot \mathscr{P}_x / \mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]$ 로 특성화되며, 여기서 $\Gamma_\infty$ 는 $\mathscr{P}_x$ 하에서 $\Gamma_t / \mu(t)$ 의 거의확실한 극한이다. 이는 극한의 존재성과 형태를 증명한다.
• 임의의 비음수 $P_0$-초마팅게일 $N_t$ 는 유일한 분해 $N_t = M_t(F) + P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t] + \xi_t$ 를 갖는다. 여기서 $M_t(F)$ 는 $M_t(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-거의확실하게 성립하는 마팅게일이며, $P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t]$ 는 유일한 적분 가능성을 갖는다. 또한 $\xi_t/(1+h(X_t)) \to 0$ $\mathscr{P}$-거의확실하게 성립한다.
• 마팅게일 생성자 $M_{t,x}(F)$ 는 $P^\Gamma_x|_{\mathcal{F}_t} = \frac{M_{t,x}(\Gamma_\infty)}{\mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]} \cdot P_x|_{\mathcal{F}_t}$ 를 만족하며, 이는 극한 측도의 경로 기반 특성화를 제공한다.
• 수렴 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-거의확실하게 성립함을 응용하여, $P^\Gamma_x$ 가 정규화된 측도 $\Gamma_t \cdot P_x / P_x[\Gamma_t]$ 의 유일한 극한임을 증명함으로써, 페널티 문제를 보편적으로 해결한다.