[논문 리뷰] Pencils on Surfaces with Normal Crossings and the Kodaira Dimension of $\overline {\mathcal {M}}_{g,n}$

Daniele Agostini, Ignacio Barros|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정규 교차 표면 위의 붓펜을 부드럽게 만드는 기준을 개발하여 M12,6, M12,7, M13,4, M14,3의 uniruledness를 확립하고, M12,8 및 M16의 코다이라 차원에 대한 상계를 제시하여 그것이 최대 dim − 2임을 보였다. 또한 Hg,4g+5가 uniruled임을 증명하여 음의 코다이라 차원을 가진 점이 있는 히퍼에르미티안 모듈리 공간의 분류를 완성하였다.

ABSTRACT

We study smoothing of pencils of curves on surfaces with normal crossings. As a consequence we show that the canonical divisor of $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ is not pseudo-effective in some range, implying that $\overline{\mathcal{M}}_{12,6},\overline{\mathcal{M}}_{12,7},\overline{\mathcal{M}}_{13,4}$ and $\overline{\mathcal{M}}_{14,3}$ are uniruled. We provide upper bounds for the Kodaira dimension of $\overline{\mathcal{M}}_{12,8}$ and $\overline{\mathcal{M}}_{16}$. We also show that the moduli of $(4g+5)$-pointed hyperelliptic curves $\mathcal{H}_{g,4g+5}$ is uniruled. Together with a recent result of Schwarz, this concludes the Kodaira classification for moduli of pointed hyperelliptic curves.

연구 동기 및 목표

• 정규 교차 표면 위의 붓펜을 부드럽게 만드는 기준을 개발하여 Mg,n의 코다이라 차원을 분석한다.
• 합리적인 성분을 가진 표준 정규 교차 표면 위에 적절한 붓펜을 구성함으로써 M12,6, M12,7, M13,4, M14,3가 uniruled임을 증명한다.
• K3 표면 위의 붓펜을 이용하여 M12,n의 코다이라 차원에 대한 상계를 dim M12,8 − 2로 제시한다.
• M16의 코다이라 차원에 대한 기존의 bound를 재검토하고 개선하여 그것이 최대 dim M16 − 2임을 보인다.
• 포인트가 있는 히퍼에르미티안 모듈리 공간 중 음의 코다이라 차원을 가진 것들의 분류를 완성하기 위해 Hg,4g+5가 uniruled임을 증명한다.

제안 방법

• 정규 교차 표면 S1 ∪ S2(여기서 S1과 S2는 유리 표면임)에 대해 변형 이론과 특이 섬유의 분석을 이용하여 붓펜을 부드럽게 만드는 일반적인 기준을 개발한다.
• 이 부드러움 기준을 Pr 내의 표준 정규 교차 표면에 적용하여 13차와 14차 곡선 위의 붓펜을 연구함으로써 문제를 각 성분 위의 붓펜 이해로 환원한다.
• M12,n의 분석을 위해 K3 표면 위의 붓펜을 활용하고 Mukai의 구성과 Mg,n 위의 타우토로지컬 클래스와의 교차수를 계산한다.
• 접합 사상 θ: Mg−1,n+2 → Mg,n를 통해 Mg−1,n+2 위의 네프 곡선 클래스 γ를 구성하고 교차 이론을 이용하여 코다이라 차원을 유계화한다.
• M15,2 → M16의 경계 사상 θ를 이용하여 M15,2에서의 커버링 곡선을 M16로 옮기고 KM16와의 교차수를 계산하여 그 코다이라 차원을 유계화한다.
• BDPP의 기준을 적용하여 KMg,n이 준효율적이지 않다면, (γ · KMg,n) < 0를 만족하는 네프 곡선 클래스 γ가 존재하면 uniruled임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 교차 표면 위의 붓펜은 부드러워질 수 있으며, 이러한 부드러움을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 모듈리 공간 위의 교차 이론을 통해 Mg,n의 코다이라 차원은 어떻게 유계화될 수 있는가?
• RQ3 M12,8 및 M16의 코다이라 차원은 무엇이며, 공간의 차원 이하로 유계화될 수 있는가?
• RQ4 포인트가 있는 히퍼에르미티안 곡선의 모듈리 공간 Hg,4g+5는 uniruled인가, 이는 음의 코다이라 차원을 가진 이러한 공간들의 분류를 완성하는가?
• RQ5 M12,6, M12,7, M13,4, M14,3의 uniruledness는 표준 정규 교차 표면 위의 붓펜을 통해 확립될 수 있는가?

주요 결과

• M12,6, M12,7, M13,4, M14,3는 유리 성분을 가진 표준 정규 교차 표면 위에 붓펜을 구성함으로써 uniruled임을 보였다.
• M12,8의 코다이라 차원은 접합 사상에 의해 옮겨받은 M11,10 위의 네프 곡선 클래스를 이용하여 dim M12,8 − 2 이하로 유계화되었다.
• M16의 코다이라 차원은 이전의 bound dim M16 − 1보다 개선되어 최대 dim M16 − 2로 유계화되었다.
• g ≥ 2일 때 Hg,4g+5는 uniruled이며, 음의 코다이라 차원을 가진 포인트가 있는 히퍼에르미티안 모듈리 공간의 분류를 완성하였다.
• 일부 범위에서 표준 분할자 KMg,n은 준효율적이지 않으며, 이는 [BDPP]의 기준에 의해 해당 모듈리 공간의 uniruledness를 암시한다.
• 정규 교차 표면 위의 붓펜 부드러움 기준은 일반적이며 향후 곡선 모듈리 문제에 적용 가능할 잠재성을 지닌다.