[논문 리뷰] Perfect and Imperfect Gauge Fixing

A. Shirzad|arXiv (Cornell University)|2006. 09. 21.

Experimental and Theoretical Physics Studies참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 체인 단위로 분석하는 방법을 사용하여 제약이 있는 해밀토니안 체계에서 게이지 고정을 분류한다. 게이지 조건이 제약 체인의 어느 단계에 위치하는지에 따라 완전한 게이지 고정과 불완전한 게이지 고정으로 나눈다. 완전한 게이지 고정은 각 체인의 최종 제약과 쌍을 이루는 게이지 조건을 도입함으로써 잔류 대칭성을 제거하고 추가 제약 없이 일관성을 확보한다. 불완전한 게이지 고정은 중간 단계에 조건을 도입하여 고위 제약을 고정하지 못하며, 물리적 상태에 보조 조건이 필요로 한다. 주요 기여는 고전적 및 양자 이론에서 게이지 선택이 초깃값 상수의 수와 잔류 대칭성에 미치는 영향을 분석할 수 있는 체계적인 프레임워크를 제공한다는 것이다.

ABSTRACT

Gauge fixing may be done in different ways. We show that using the chain structure to describe a constrained system, enables us to use either a perfect gauge, in which all gauged degrees of freedom are determined; or an imperfect gauge, in which some first class constraints remain as subsidiary conditions to be imposed on the solutions of the equations of motion. We also show that the number of constants of motion depends on the level in a constraint chain in which the gauge fixing condition is imposed. The relativistic point particle, electromagnetism and the Polyakov string are discussed as examples and perfect or imperfect gauges are distinguished.

연구 동기 및 목표

• 제약 체인과 잔류 대칭성 간의 관계를 명확히 하기 위해 첫 번째 유형의 제약이 있는 체계에서 게이지 고정의 역할을 규명한다.
• 게이지 조건이 제약 체인의 어느 수준에 도입되는지에 따라 완전한 게이지 고정과 불완전한 게이지 고정을 식별하고 체계화한다.
• 운동 방정식의 해에서 初기 상수의 수에 게이지 선택이 미치는 영향을 분석한다.
• 불완전한 게이지 고정은 고전적 및 양자적 측면에서 물리적 상태에 보조 조건이 필요로 하며, 완전한 게이지 고정은 그렇지 않음을 보여준다.
• 예를 들어 쿨롱, 로렌츠, 빛의 경로, 공변 게이지와 같은 잘 알려진 게이지를 이 분류 체계에 따라 재구성하고 그 구조적 차이를 드러낸다.

제안 방법

• 체인 단위로 분석하는 방법을 적용하여 제1형 제약 체인을 구성한다. 각 체인은 포아송 괄호를 통해 생성되며, $\phi_{n+1} = \{\phi_n, H_c\}$ 로 표현되며, $\{\phi_N, H_c\} \approx 0$ 일 때 종료된다.
• 완전한 게이지 고정은 각 체인의 마지막 제약($\phi_N$)과 쌍을 이루는 게이지 조건(GFCs)을 도입함으로써 모든 게이지 생성자를 고정한다.
• 게이지 고정 수준이라는 개념을 도입하여, 주로 GFCs가 체인 내 어느 위치에 도입되는지에 따라 중간 수준과 종단 수준을 구분한다.
• 게이지 변환의 생성 함수를 사용한다: $G = \sum_{s=1}^{N} (-1)^s \phi_s \frac{d^{N-s}\eta}{dt^{N-s}}$, 이는 임의의 시간 함수의 수가 체인 길이와 관련이 있음을 보여준다.
• 게이지 조건의 일관성은 디라크 절차를 통해 분석한다: $\dot{\omega}_i \approx 0$, 이는 게이지 조건이 적절히 쌍을 이루지 않으면 추가 제약이 발생할 수 있음을 보여준다.
• 이 분류 체계를 실제 모델에 적용한다: 상대론적 점 입자, 전기역학(쿨롱 및 로렌츠 게이지), 보존 스트링(공변 및 빛의 경로 게이지)에 대해 디라크 괄호와 제약 분석을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 체인 내에서 게이지 고정의 위치가 이론의 일관성과 물리적 내용에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ2 잔류 대칭성과 보조 조건의 필요성 측면에서 완전한 게이지 고정과 불완전한 게이지 고정의 차이는 무엇인가?
• RQ3 전자기학에서 로렌츠 게이지가 쿨롱 게이지와 본질적으로 어떻게 다를 수 있으며, 이는 체인의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 해운동 방정식의 해에서 초기 상수의 수는 어떤 게이지 선택에 따라 어떻게 변화하는가? 이 수는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ5 불완전한 게이지를 사용할 경우 물리적 상태를 추가 제약으로 투영해야 하는 정도는 어느 정도이며, 이는 양자화에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 완전한 게이지 고정은 각 제1형 제약 체인의 최종 제약과 쌍을 이루는 게이지 조건을 도입함으로써 모든 게이지 생성자가 고정되고 잔류 대칭성이 없어진다.
• 불완전한 게이지 고정은 체인의 중간 단계에 조건을 도입함으로써 고위 제약이 고정되지 않으며, 물리적 해에 보조 조건이 필요로 한다.
• 초기 상수의 수는 완전한 게이지에서 최소화되며, 이는 모든 시간에 대한 임의의 함수가 완전히 고정되기 때문이다.
• 전자기학에서 로렌츠 게이지는 '완전히 불완전한' 것으로 분류되며, 이는 라그랑주 승수를 직접 고정하지만 모든 제1형 제약이 고정되지 않아 보조 조건이 필요로 하기 때문이다.
• 보존 스트링의 빛의 경로 게이지는 완전한 게이지이며, 모든 게이지 자유도를 고정하고 오직 횡방향 자유도만 남기며, 디라크 괄호는 $\{X^i, P_j\}_{DB} = \delta^i_j \delta(\sigma - \sigma')$ 로 표현된다.
• 보존 스트링의 공변(구) 게이지는 불완전하며, 양자 이론에서 물리적 상태에 바이르아소로 제약을 보조 조건으로 도입해야 한다.