[논문 리뷰] Perfect domination in regular grid graphs

Italo J. Dejter|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이중 무한 이진 수열로 특징지어지는 2차원 정수 격자 그래프 Λ에서의 평행 전역 완전 코드의 비가чёт 수 가족의 존재를 확립하고, 1완전 코드 분할을 고차원으로 일반화한다. 이는 Λ와 그 토로이드 몫에서 이러한 코드들이 Z_{2r+1}의 생성자 집합 {1,…,r}을 가진 카일리 그래프로 대응됨을 증명하며, r차원 격자와 토로이드에서 유일한 1완전 코드 분할을 제공한다.

ABSTRACT

We show there is an uncountable number of parallel total perfect codes in the integer lattice graph $Λ$ of $\R^2$. In contrast, there is just one 1-perfect code in $Λ$ and one total perfect code in $Λ$ restricting to total perfect codes of rectangular grid graphs (yielding an asymmetric, Penrose, tiling of the plane). We characterize all cycle products $C_m imes C_n$ with parallel total perfect codes, and the $d$-perfect and total perfect code partitions of $Λ$ and $C_m imes C_n$, the former having as quotient graph the undirected Cayley graphs of $\Z_{2d^2+2d+1}$ with generator set $\{1,2d^2\}$. For $r>1$, generalization for 1-perfect codes is provided in the integer lattice of $\R^r$ and in the products of $r$ cycles, with partition quotient graph $K_{2r+1}$ taken as the undirected Cayley graph of $\Z_{2r+1}$ with generator set $\{1,...,r\}$.

연구 동기 및 목표

• 2차원 정수 격자 그래프 Λ에서의 전역 완전 코드의 구조와 존재성을 특징짓는 것.
• 사이클 곱 C_m × C_n에서의 평행 전역 완전 코드의 존재를 조사하는 것.
• 1완전 코드 분할을 r차원 정수 격자와 그 토로이드 몫으로 일반화하는 것.
• 이러한 코드 분할의 몫 그래프가 순환군의 무방향 카일리 그래프임을 식별하는 것.
• Λ와 그 직사각형 격자 그래프로의 제한에서의 1완전 코드의 유일성을 확립하는 것.

제안 방법

• Λ에서의 평행 전역 완전 코드와 이중 무한 이진 수열 사이의 일대일 대응을 수립한 것.
• Z_{2r+1}를 사용하여 Λ^r의 정점에 레이블을 할당하여, 인접한 정점가운데 i번째 좌표에서 i mod (2r+1)의 차이를 가지도록 정의한 것.
• 좌표 합을 (2r+1)로 모듈로 연산한 결과에 따라 각 정점에 {1,…,2r+1}에서의 레이블을 할당하여 Λ^r에서 1완전 코드 분할을 구성한 것.
• canonical projection ρ: Λ^r → C_{m_1} × ⋯ × C_{m_r}을 사용하여 토로이드에서의 코드 분할을 무한 격자로 올리는 것.
• 코드 분할의 몫 그래프가 Z_{2r+1}의 생성자 집합 {1,…,r}을 가진 무방향 카일리 그래프 K_{2r+1}임을 증명한 것.
• Λ^r에서 기본 코드와 동형인 1완전 코드의 총 개수는 거울 대칭과 레이블 순열을 고려하여 2(2r+1)임을 보여준 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 정수 격자 그래프 Λ에서 평행 전역 완전 코드는 몇 개인가?
• RQ2 어떤 사이클 곱 C_m × C_n에서 평행 전역 완전 코드가 존재하는가?
• RQ3 Λ와 C_m × C_n에서의 d완전 및 전역 완전 코드 분할의 몰입 그래프는 무엇인가?
• RQ4 1완전 코드 분할은 어떻게 r차원 격자와 토로이드로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 Λ^r와 그 토로이드 몫에서 1완전 코드 집합의 구조와 기수는 무엇인가?

주요 결과

• 이중 무한 이진 수열과 일대일 대응되는 비가чёт 수의 평행 전역 완전 코드가 2차원 정수 격자 Λ에 존재한다.
• Λ에는 정확히 하나의 1완전 코드가 존재하며, 직사각형 격자 그래프로 제한되었을 때 전역 완전 코드가 되는 유일한 전역 완전 코드가 존재하여, 비대칭 펜로즈 유사 타일링을 유도한다.
• Λ와 C_m × C_n에서의 d완전 코드 분할의 몰입 그래프는 생성자 집합 {1, 2d^2}을 가진 Z_{2d^2 + 2d + 1}의 무방향 카일리 그래프이다.
• r차원 격자에서는 몰입 그래프가 K_{2r+1}인 1완전 코드 분할이 존재하며, 이는 Z_{2r+1}의 생성자 집합 {1,…,r}을 가진 무방향 카일리 그래프이다.
• Λ^r에서 기본 코드와 동형인 1완전 코드의 총 개수는 거울 대칭과 레이블 순열에 의해 2(2r+1)로 나타난다.
• r ≥ 1일 때, r토로이드 C_{m_1} × ⋯ × C_{m_r}에서 1완전 코드 분할이 존재하는 것은 각 m_i가 q / gcd(q, i)의 배수일 때이고, 여기서 q = 2r + 1이다.