[논문 리뷰] Perfect hedging in rough Heston models

Omar El Euch, Mathieu Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 거친 헤스톤 모델에서 원자재 자산과 포워드 변동성 곡선으로 구성된 명시적 포트폴리오를 사용하여 완벽한 헤징이 이론적으로 가능하다는 것을 입증한다. 시간에 따라 변하는 평균 회귀 수준과 헤이크스 과정 기반 특성 함수 분석을 활용하여 유한한 조건부 기대값에 대한 반닫기 형태의 해를 도출하였으며, 비마르코프 동역학에도 불구하고 포워드 변동성 곡선이 모델의 상태 공간을 완전히 기술하고 있음을 증명하였다.

ABSTRACT

Rough volatility models are known to reproduce the behavior of historical volatility data while at the same time fitting the volatility surface remarkably well, with very few parameters. However, managing the risks of derivatives under rough volatility can be intricate since the dynamics involve fractional Brownian motion. We show in this paper that surprisingly enough, explicit hedging strategies can be obtained in the case of rough Heston models. The replicating portfolios contain the underlying asset and the forward variance curve, and lead to perfect hedging (at least theoretically). From a probabilistic point of view, our study enables us to disentangle the infinite-dimensional Markovian structure associated to rough volatility models.

연구 동기 및 목표

• 거친 헤스톤 모델에서의 파생상품 가격 책정 및 헤징 문제를 다루며, 이는 비마르코프적이며 분수 브라운 운동을 포함한다.
• 거친 헤스톤 모델에서 미래 지급금 가치의 조건부 분포를 완전히 결정짓는 최소한의 상태 변수 집합을 규명한다.
• 확장된 특성 함수를 사용하여 파생상품 지급금의 조건부 기대값에 대한 반닫기 형태의 해를 개발한다.
• 포워드 변동성 곡선과 원자재 자산으로 구성된 명시적 포트폴리오를 통해 완벽한 헤징이 이론적으로 가능하다는 것을 입증한다.

제안 방법

• 조건부로 마르코프 유사한 구조를 유지하기 위해 시간에 따라 변하는 평균 회귀 수준을 포함한 일반화된 거친 헤스톤 모델을 도입한다.
• 헤이크스 과정을 사용하여 점프의 분기적 구조를 모델링하고, 복소수 매개변수에 대해 로그 가격의 확장된 특성 함수를 유도한다.
• 리만-리우빌 연산자를 사용한 분수 립타티 방정식을 적용하여 특성 함수를 특성화하며, 고전적 도함수 대신 분수 도함수를 사용한다.
• 갈튼-워슨 분기 과정을 통해 적분 가능성 조건을 확립하여 특성 함수 유도 시 지수 모멘트의 수렴을 보장한다.
• 헤이크스 과정의 분기적 구조를 활용하여 강도 과정을 분해하고 특성 함수에 대한 재귀적 적분 방정식을 도출한다.
• 조건부 로그 가격의 분포가 현재 원자재 가격과 포워드 변동성 곡선에만 의존함을 증명함으로써 완벽한 복제가 가능함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비마르코프적이며 비세미마르코프 동역학을 가지는 거친 헤스톤 모델에서 명시적 헤징 전략을 유도할 수 있는가?
• RQ2 거친 헤스톤 모델에서 미래 파생상품 지급금의 조건부 분포를 완전히 결정짓는 최소한의 상태 변수 집합은 무엇인가?
• RQ3 포워드 변동성 곡선(미래 변동성의 조건부 기대값으로 정의됨)이 가격 책정 및 헤징에 충분한 통계량으로 기능하는가?
• RQ4 분수 미적분학을 사용하여 거친 헤스톤 모델에서 로그 가격의 특성 함수에 대해 반닫기 형태의 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 로그 가격의 확장된 특성 함수가 어떤 조건에서 적분 가능하게 유지되며, 이로 인해 조건부 기대값의 유도가 가능해지는가?

주요 결과

• 평균 회귀 수준이 시간에 따라 변하는 함수로 대체될 경우, 거친 헤스톤 모델에서 로그 가격의 조건부 분포는 여전히 거친 헤스톤 분포를 유지한다.
• 포워드 변동성 곡선, 즉 $ ( ext{E}[V_{s+t}|ancyscript{F}_t])_{s eq 0} $는 임의의 파생상품 지급금의 조건부 기대값을 완전히 결정짓는 데에 충분하다.
• 리만-리우빌 분수 도함수와 적분을 포함한 분수 립타티 방정식을 사용하여 로그 가격의 특성 함수에 대한 반닫기 형태의 해가 도출되었다.
• 복소수 $ z = a + ib $ 에 대해 조건 $ a eq ext{int}_0^t ho - 1 - ext{log}( ext{int}_0^t ho) $ 를 만족할 경우, 확장된 특성 함수 $ ext{E}[ ext{exp}(z ext{log}(S_t/S_0))] $ 는 잘 정의되어 있으며, 이는 적분 가능성을 보장한다.
• 원자재 자산과 포워드 변동성 곡선으로 구성된 포트폴리오를 사용하여 완벽한 헤징이 이론적으로 가능하며, 복제 오차가 존재하지 않는다.
• 헤이크스 과정과 그 분기적 구조의 사용은 모멘트 생성 함수의 유도를 가능하게 하며, 특성 함수 분석에 필수적인 지수 모멘트의 수렴을 보장한다.