[논문 리뷰] Perfect plasticity with damage and healing at small strains, its modelling, analysis, and computer implementation

Tomáš Roubı́ček, Jan Valdman|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 05.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 38인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 미세 변형에서 완전한 플라스티시티와 기울기 강화, 가역적(치유 가능한) 손상의 조합을 고려한 변분 모델을 제안하며, 지질학적 맥락에서 단층 파손 및 치유 주기 시뮬레이션을 가능하게 한다. 분수단계 시간 이산화와 유한요소법을 사용하여 약한 해의 존재성을 증명하고, MATLAB에 비선형 최적화 및 이차 프rogamming 솔버를 활용해 모델을 구현하여 에너지 균형과 힘 반응의 안정적이고 수렴 가능한 시뮬레이션을 달성하였다.

ABSTRACT

The quasistatic, Prandtl-Reuss perfect plasticity at small strains is combined with a gradient, reversible (i.e. admitting healing) damage which influences both the elastic moduli and the yield stress. Existence of weak solutions of the resulted system of variational inequalities is proved by a suitable fractional-step discretisation in time with guaranteed numericalstability and convergence. After finite-element approximation, this scheme is computationally implemented and illustrative 2-dimensional simulations are performed. The model allows e.g. for application in geophysical modelling of re-occurring rupture of lithospheric faults. Resulted incremental problems are solved in MATLAB by quasi-Newton method to resolve elastoplasticity component of the solution while damage component is obtained by solution of a quadratic programming problem.

연구 동기 및 목표

• 지각 단층의 거동을 모방하는 재발성 파손을 가지는 좁은 플라스틱 전단대와 넓은 가역적 손상 영역을 동시에 모의하는 것.
• 보장된 안정성과 수렴성을 갖춘 시간 이산화 분수단계 방법을 통해 연립 변분부등식 시스템에 대한 약한 해의 존재성을 엄밀히 증명하는 것.
• 유한요소법을 활용해 탄소플라스틱성과 손상 성분에 각각 비선형 최적화 및 이차 프로그래밍 방법을 적용한 계산 효율적인 구현을 개발하는 것.
• 다양한 손상 점성도 조건에서 에너지 균형과 기계적 반응을 수치적으로 시뮬레이션할 수 있도록 하며, 다스케일 지질학적 응용에 적응형 시간 스텝을 적용할 잠재력을 제공하는 것.

제안 방법

• 프란틀-루이즈 완전 플라스티시티와 기울기 손상 역학을 조합한 미세 변형 모델을 수립하며, 탄성 계수와 항복 응력이 스칼라 손상 변수에 의존하도록 설정한다.
• 치유가 가능한 비선형 손상 모델을 도입하여 손상의 시간에 의존하는 거동을 허용하며, 고차항을 추가해 완전한 손상 방지를 통해 수학적 취급 가능성을 확보한다.
• 탄성플라스틱성과 손상 진전을 분리하기 위해 분수단계 시간 이산화를 적용하여 수치적 안정성과 약한 해로의 수렴성을 보장한다.
• 공간 이산화에 대해 유한요소법을 적용하며, 탄성플라스틱성 부분 문제는 비선형 최적화 방법으로, 손상 부분 문제는 이차 프로그래밍으로 해결한다.
• 표면 에너지 효과를 모의하기 위해 변형률 기울기 항을 포함한 저장 에너지 함수를 사용하여 플라스틱성 및 손상 국소화를 정규화한다.
• 2차원 시뮬레이션을 통해 수치적 검증을 수행하며, 시간 간격과 손상 점성도 변화에 따른 에너지 균형, 힘 반응, 수렴성 등을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 플라스티시티와 가역적, 기울기 강화 손상이 미세 변형에서 결합된 모델을 구성할 수 있는가? 이는 전단대에서의 국소화와 손상의 치유를 동시에 가능하게 하는가?
• RQ2 시간 이산화 분수단계 방법이 유도하는 변분부등식 시스템에 대해 수치적 안정성과 약한 해로의 수렴성을 보장하는가?
• RQ3 손상 점성도의 선택이 기계적 반응, 특히 파손의 시기와 전파에 어떤 영향을 미치며, 점성도가 감소할수록 비점성, 비속도 의존성 모델로 수렴하는가?
• RQ4 시뮬레이션에서 이산 에너지 균형은 어느 정도 만족되는가? 그리고 후행 오차 지표는 다스케일 지질학적 과정(빠른 파손과 느린 치유를 동시에 포함)에서 적응형 시간 스텝을 안내하는 데 유용한가?

주요 결과

• 모델은 지질학적 단층 코어의 구조와 일치하는 좁은 플라스틱 전단대와 넓은 손상 영역을 성공적으로 모의하였다.
• 수치적 시뮬레이션 결과, 시간 간격 τ가 감소할수록 에너지 균형식 (3.9c)가 이론적 에너지 등식 (2.11c)로 수렴하며, τ = 1 ks일 때 수렴성이 가장 우수하였다.
• 에너지 균형의 격차가 존재하는 동안에도 반응력 반응은 잘 수렴되어 기계적 반응 예측의 견고성을 보였다.
• 손상 점성도를 감소시킴(예: a₂ = 1 kPa·s)하면 파손 시기가 빨라지고 전파 속도가 빨라지며, 점성도가 없는 비속도 의존성 손상 모델로 수렴하는 경향을 보였다.
• 후행 에너지 잔차는 적응형 시간 스텝을 안내하는 데 효과적으로 활용될 수 있으며, 빠른 파손과 느린 치유를 포함한 다양한 시간스케일을 가진 과정의 효율적 시뮬레이션을 가능하게 하였다.
• 비선형 최적화 및 이차 프로그래밍 솔버를 사용한 MATLAB 구현은 탄성플라스틱성과 손상 성분을 효과적으로 분리하여 안정적이고 수렴 가능한 해법을 제공하였다.