[논문 리뷰] Perfect powers that are sums of consecutive squares

Vandita Patel|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 20.

graph theory and CDMA systems인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대수적 수론과 디오판틴 분석을 사용하여 최대 10개의 연속된 제곱수의 합으로 표현 가능한 모든 완전거듭제곱수를 결정한다. $ d \leq 10 $일 때, $ n \geq 2 $인 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $의 해는 $ n \geq 3 $이면 유한히 많은 해를 가지며, $ n = 2 $, $ d = 2 $일 때는 무한한 해의 집합을 가지며, $ d = 6 $, $ n \geq 3 $일 때는 해가 존재하지 않는다. 주요 기여는 주어진 범위 내에서 이러한 완전거듭제곱수를 완전히 분류한 데 있다.

ABSTRACT

We determine all perfect powers that can be written as the sum of at most 10 consecutive squares.

연구 동기 및 목표

• 최대 10개의 연속된 제곱수의 합으로 표현 가능한 모든 완전거듭제곱수를 분류하는 것.
• 정수 범위에서 $ 2 \leq d \leq 10 $, $ n \geq 2 $인 디오판틴 방정식 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $를 해결하는 것.
• 이전 결과를 확장하여 특히 $ d = 6 $ 및 $ d = 8 $일 때 $ n = 2 $인 경우에 대해 해결되지 않았던 사례를 다루는 것.
• $ d = 6 $ 및 홀수 소수 $ n $에 대해 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $에서의 대수적 수론과 아이디얼 인수분해를 적용하여 해가 존재하지 않음을 입증하는 것.
• Bilu, Hanrot, Voutier의 원시 약수 정리를 적용하여 가능한 지수를 유계화하고 큰 소수 거듭제곱수를 제거하는 것.

제안 방법

• 식 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = dx^2 + d(d+1)x + \frac{d(d+1)(2d+1)}{6} $를 사용하여 방정식을 이차형식으로 재작성하는 것.
• 완전제곱형식으로 변환하여 합을 $ d\left(\left(x + \frac{d+1}{2}\right)^2 + \frac{(d-1)(d+1)}{12}\right) = y^n $로 표현하는 것.
• Lemma 2.1 (Zhang과 Bai)의 적용을 통해 $ d \in \{5,7,10\} $인 경우를 소수의 약수와 그 모듈로 $ n $에서의 순서를 기반으로 제거하는 것.
• 2-진 및 3-진 값매김 렘마(Lemmas 2.2 및 2.3)의 사용을 통해 $ n \mid (r-1) $이 성립함을 보여 $ d = 4, 9 $ 및 $ d = 8 $, $ n \geq 3 $인 경우를 제거하는 것.
• $ d = 6 $의 경우를 방정식 $ X^2 + 105 = 6y^p $로 감소시키며, $ X = 6x + 21 $로 정의하고 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $의 정수환에서 인수분해하는 것.
• Bilu-Hanrot-Voutier의 렘마 수열과 원시 약수 이론을 적용하여 $ p < 30 $로 유계화한 후, $ p = 3, 5, 7, 13 $에 대해 직접 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 10개의 연속된 제곱수의 합으로 표현 가능한 완전거듭제곱수 $ y^n $는 무엇인가?
• RQ2 $ d \in \{6,8\} $, $ n \geq 3 $, $ y \neq \pm 1 $일 때, $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $에 해가 존재하는가?
• RQ3 $ d = 2 $, $ n = 2 $일 때의 완전한 해 집합은 무엇인가?
• RQ4 $ d = 6 $, $ n \geq 3 $일 때 방정식 $ \sum_{k=1}^d (x+k)^2 = y^n $에 해가 존재하는가?
• RQ5 $ \mathbb{Q}(\sqrt{-105}) $에서의 클래스군 구조와 아이디얼 인수분해는 $ d = 6 $의 해가 존재하지 않음을 어떻게 규명하는가?

주요 결과

• $ n \geq 3 $인 경우의 유일한 해는 $ (d,x,y,n) = (2,-1,\pm1,2r), (2,-2,\pm1,2r), (2,-1,1,2r+1), (2,-2,1,2r+1), (2,118,\pm13,4), (2,-121,\pm13,4) $이다.
• $ d = 2 $, $ n = 2 $일 때, $ 2x+3 + y\sqrt{2} = \pm(1+\sqrt{2})^{2r+1} $ ($ r \in \mathbb{Z} $)로 매개변수화된 무한한 해의 집합이 존재한다.
• $ d = 6 $, $ n \geq 3 $일 때는 해가 존재하지 않으며, 이는 $ \mathbb{Z}[\sqrt{-105}] $에서의 아이디얼 인수분해와 관련 렘마 수열에서 원시 약수가 존재하지 않기 때문이다.
• $ d = 4, 8, 9 $는 $ n \geq 3 $일 때 2-진 및 3-진 값매김 분석을 통해 $ n \mid (r-1) $임을 보여 제거된다. 이는 $ r \geq 2 $일 때 성립하지 않기 때문이다.
• $ d = 8 $, $ n = 2 $의 경우 모듈로 산술을 통해 제거된다: 좌변은 $ 6 \pmod{8} $이지만 우변은 $ 2 \pmod{8} $이다.
• $ d = 6 $, $ n = 2 $의 경우 $ 3(2x+7)^2 + 35 \equiv 6 \pmod{8} $임을 보여, 반면 $ 2y^2 \equiv 2 \pmod{8} $이므로 모순이 발생한다.