[논문 리뷰] Perfect state transfer, integral circulants and join of graphs

Ricardo Javier Angeles-Canul, Rachael M. Norton외 4명|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 그래프 합성 연산과 순환 일반화를 사용하여 양자 네트워크에서 완벽한 상태 전달을 보이는 새로운 그래프 가족을 제안한다. 16의 배수인 n과 b ∈ {1,2}에 대해 ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q) 형태의 정수 순환 그래프를 구성하고, Godsil이 제기한 열린 문제를 해결하기 위해 K̄₂와 정규 그래프의 합을 통한 비주기적 이중콘 그래프에서 완벽한 상태 전달을 증명한다.

ABSTRACT

We propose new families of graphs which exhibit quantum perfect state transfer. Our constructions are based on the join operator on graphs, its circulant generalizations, and the Cartesian product of graphs. We build upon the results of Bašić et al \cite{bps09,bp09} and construct new integral circulants and regular graphs with perfect state transfer. More specifically, we show that the integral circulant $ extsc{ICG}_{n}(\{2,n/2^{b}\} \cup Q)$ has perfect state transfer, where $b \in \{1,2\}$, $n$ is a multiple of 16 and $Q$ is a subset of the odd divisors of $n$. Using the standard join of graphs, we also show a family of double-cone graphs which are non-periodic but exhibit perfect state transfer. This class of graphs is constructed by simply taking the join of the empty two-vertex graph with a specific class of regular graphs. This answers a question posed by Godsil \cite{godsil08}.

연구 동기 및 목표

• 비조절 양자 스핀 네트워크에서 완벽한 상태 전달를 보이는 새로운 그래프 가족을 구성하기.
• 표준 합성 연산을 순환 구조를 유지하면서 보존하는 순환 합성 연산으로 일반화하여 새로운 그래프 가족에서 완벽한 상태 전달를 가능하게 하기.
• Godsil이 제기한 비주기적 그래프에서 완벽한 상태 전달를 보이는 그래프를 K̄₂와 정규 그래프의 합을 통해 구성함으로써 열린 문제를 해결하기.
• 기존의 정수 순환 그래프와 카르테시안 곱에서의 완벽한 상태 전달 결과를 더 넓은 그래프 클래스로 확장하기.
• 복합 그래프에서의 완벽한 상태 전달 존재 조건을 구성 요소의 조건으로 환원하여 체계적인 구성 가능하게 하기.

제안 방법

• 두 개의 순환 그래프 G를 연결하는 순환 합성 연산 G+ₜC G를 도입하며, 여기서 C는 순환 행렬이며 표준 합성과 카르테시안 곱 사이를 보간한다.
• 만약 cos(t*√(CᵀC)) = ±I 이고 G가 시간 t*에서 완벽한 상태 전달를 보인다면, G+ₜC G 또한 시간 t*에서 완벽한 상태 전달를 보임을 증명한다.
• C가 팰린드롬 순환 행렬일 경우 순환 합성 연산이 순환 그래프를 생성함을 보이며, 이는 새로운 정수 순환 그래프의 구성이 가능함을 의미한다.
• b ∈ {1,2}, n이 16의 배수이고 Q가 n의 홀수 약수의 부분집합일 때, ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q) 가족을 새로운 완벽한 상태 전달를 보이는 클래스로 유도한다.
• 동일한 완벽한 상태 전달 시간을 가진 그래프의 m중 자기합성에 대한 닫힘 성질과 다중 그래프의 카르테시안 곱에 대한 성질을 확립한다.
• 두 정규 그래프의 합 G+H에서의 완벽한 상태 전달 조건을 G의 스펙트럼 조건과 크기 및 차수에 대한 제약 조건으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 그래프 합성 연산을 순환 구조를 유지하면서 보존하는 방식으로 일반화할 수 있으며, 이는 새로운 그래프 가족에서 완벽한 상태 전달를 가능하게 하는가?
• RQ2 b ∈ {1,2} 이고 n이 16의 배수일 때, 형태 ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q)의 정수 순환 그래프는 완벽한 상태 전달를 보이는가?
• RQ3 K̄₂와 정규 그래프의 합을 통해 비주기적 그래프에서 완벽한 상태 전달를 구성할 수 있는가? 이는 Godsil의 열린 문제를 해결하는가?
• RQ4 그래프의 m중 자기합성에서 완벽한 상태 전달가 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 모든 구성 요소가 동일한 완벽한 상태 전달 시간을 가질 경우, 다중 그래프의 카르테시안 곱에서 완벽한 상태 전달를 보장할 수 있는가?

주요 결과

• b ∈ {1,2}, n이 16의 배수이고 Q가 n의 홀수 약수의 부분집합일 때, 정수 순환 그래프 ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q)는 완벽한 상태 전달를 보인다.
• cos(t*√(CᵀC)) = ±I 이고 G가 시간 t*에서 완벽한 상태 전달를 보일 경우, 순환 합성 구조 G+ₜC G 또한 완벽한 상태 전달를 보인다.
• K̄₂ + G 형태의 이중콘 그래프는 K₂의 여집합과 정규 그래프 G의 합으로 구성되며, 완벽한 상태 전달를 보이며 비주기적이다.
• m중 자기합성 ∑ₖ₌₁ᵐ G에서의 완벽한 상태 전달는 G의 조건과 추가 스펙트럼 제약 조건으로 환원 가능하며, 이는 체계적인 구성이 가능함을 의미한다.
• 동일한 전달 시간을 가진 다수의 완벽한 상태 전달 그래프의 카르테시안 곱 또한 완벽한 상태 전달를 보인다.
• 논문은 이중콘 그래프를 합성 연산을 통해 구성함으로써 Godsil의 열린 문제를 해결하였다.