[논문 리뷰] Periodic continued fractions over $S$-integers in number fields and Skolem's $p$-adic method

Bradley W. Brock, Noam D. Elkies외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정수에서 수체의 S-정수로 주기 연분수(PCFs)를 일반화하며, 수체의 정수환 위에서 정의된 PCF 다양체 V(B)N,k를 도입한다. 행렬 역학과 연속다항식을 이용하여 수렴 여부를 판단하고, 스코렘의 p진 방법을 통해 극한을 계산하는 알고리즘을 제공하며, 특히 Z[√2]-확장에서 매우 효과적이다. 주요 결과는 Z[√2] 위에서 α₂ = √(2+√2)에 대해 유형 (0,3), (1,2), (2,1)의 PCF를 완전히 분류한 것으로, 르융그레의 방정식과 2진 기법을 이용해 총 16개와 20개의 이러한 PCF를 명시적으로 찾았으며, 유한성을 증명하였다.

ABSTRACT

We generalize the classical theory of periodic continued fractions (PCFs) over ${\mathbf Z}$ to rings ${\mathcal O}$ of $S$-integers in a number field. Let ${\mathcal B}=\{\beta, {\beta^*}\}$ be the multi-set of roots of a quadratic polynomial in ${\mathcal O}[x]$. We show that PCFs $P=[b_1,\ldots,b_N,\bar{a_1\ldots ,a_k}]$ of type $(N,k)$ potentially converging to a limit in ${\mathcal B}$ are given by ${\mathcal O}$-points on an affine variety $V:=V({\mathcal B})_{N,k}$ generically of dimension $N+k-2$. We give the equations of $V$ in terms of the continuant polynomials of Wallis and Euler. The integral points $V({\mathcal O})$ are related to writing matrices in $ extrm{SL}_2({\mathcal O})$ as products of elementary matrices. We give an algorithm to determine if a PCF converges and, if so, to compute its limit. Our standard example generalizes the PCF $\sqrt{2}=[1,\bar{2}]$ to the ${\mathbf Z}_2$-extension of ${\mathbf Q}$: $F_n={\mathbf Q}(\alpha_n)$, $\alpha_{n}:=2\cos(2\pi/2^{n+2})$, with integers ${\mathcal O}_n={\mathbf Z}[\alpha_n]$. We want to find the PCFs of $\alpha_{n+1}$ over ${\mathcal O}_{n}$ of type $(N,k)$ by finding the ${\mathcal O}_{n}$-points on $V({\mathcal B}_{n+1})_{N,k}$ for ${\mathcal B}_{n+1}:=\{\alpha_{n+1}, -\alpha_{n+1}\}$. There are three types $(N,k)=(0,3), (1,2), (2,1)$ such that the associated PCF variety $V({\mathcal B})_{N,k}$ is a curve; we analyze these curves. For generic ${\mathcal B}$, Siegel's theorem implies that each of these three $V({\mathcal B})_{N,k}({\mathcal O})$ is finite. We find all the ${\mathcal O}_n$-points on these PCF curves $V({\mathcal B}_{n+1})_{N,k}$ for $n=0,1$. When $n=1$ we make extensive use of Skolem's $p$-adic method for $p=2$, including its application to Ljunggren's equation $x^2 + 1 =2y^4$.

연구 동기 및 목표

• 기존의 주기 연분수(PCFs) 이론을 정수 Z에서 수체의 S-정수환으로 확장한다.
• 정수환 O 위에서 이차다항식의 근으로 수렴하는 유형 (N,k)의 O-PCFs를 매개변수화하는 PCF 다양체 V(B)N,k를 정의하고 연구한다.
• 행렬 역학과 대수적 기준을 이용하여 O-PCFs의 수렴 여부를 판단하고 극한을 계산하는 알고리즘을 개발한다.
• 문제 1.1 해결: O_n = Z[α_n] 위에서 α_{n+1} = 2cos(2π/2^{n+2})에 대해 유형 (N,k)의 O_n-PCFs를 모두 찾는 것. 특히 n=0,1의 경우에 대해.
• 스코렘의 p진 방법과 시겔의 정리를 적용하여, 종수 ≥1인 PCF 곡선 위의 정수점의 유한성을 증명하고, 이를 명시적으로 계산한다.

제안 방법

• 월리스와 오일러의 연속다항식을 이용해, O-PCFs 유형 (N,k)를 매개변수화하는 애핀 다양체로 PCF 다양체 V(B)N,k를 정의한다.
• 행렬 역학 적용: 연분수 [b₁,…,bₙ,a₁,…,aₖ]는 SL₂(O) 내의 기본 행렬의 곱과 대응되며, 극한은 관련 행렬 E(P)에 의해 결정된다.
• 주기부분의 추적과 행렬 원소를 기반으로 한 알고리즘을 통해 수렴성을 기술하며, 행렬 반복 이론의 기준을 활용한다.
• 특히 (N,k) = (0,3), (1,2), (2,1)의 경우에 대해 2진 소수 p=2에 대해 스코렘의 p진 방법을 적용하여 PCF 곡선 위의 디오판틴 방정식을 해결한다.
• PCF 곡선에서 유도되는 2진 방정식을 해결하는 데 핵심 도구로 르융그레의 방정식 x² + 1 = 2y⁴를 사용한다.
• 스코렘의 방법이 직접 적용되지 않는 경우를 줄이기 위해 시겔의 정리를 활용하여 PCF 곡선의 O-점의 유한성을 증명하고, 합동 및 커버링 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 (N,k)에 대해 PCF 다양체 V(B)N,k는 곡선이 되며, 이들의 수체의 S-정수환 위에서 기하학적·산술적 구조는 어떠한가?
• RQ2 주어진 O-PCF 유형 (N,k)가 수렴하는지 알고리즘적으로 판단할 수 있으며, 만약 수렴한다면 정의된 이차다항식의 어떤 근으로 수렴하는가?
• RQ3 O_n = Z[α_n] 위에서 α_{n+1} = 2cos(2π/2^{n+2})에 대해 유형 (N,k)의 O_n-PCFs의 완전한 집합은 무엇이며, 특히 n=0과 n=1일 경우는 어떻게 되는가?
• RQ4 스코렘의 p진 방법은 수체의 PCF 곡선 위의 디오판틴 방정식을 효과적으로 해결하는 데 적용될 수 있으며, 이는 르융그레의 방정식과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 PCF 다양체 V(B)N,k 위의 O-점은 유한한가? 그리고 다양체가 종수 ≥1인 곡선이라면 이를 명시적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• Q의 Z[√2]-확장에서, PCF 다양체 V(2+√2)₀,₃은 정확히 16개의 Z[√2]-점을 가지며, 이는 α₂ = √(2+√2)에 대해 유형 (0,3)의 8개의 서로 다른 PCF에 대응한다.
• 다양체 V(2+√2)₁,₂는 정확히 20개의 Z[√2]-점을 가지며, 이는 α₂에 대해 유형 (1,2)의 10개의 서로 다른 PCF에 대응하며, 그 외에는 존재하지 않는다.
• 다양체 V(2+√2)₂,₁는 Z[√2] 위에서 공집합임을 단순한 합동 조건으로 증명하였으며, 따라서 α₂에 대해 유형 (2,1)의 PCF는 존재하지 않는다.
• PCF [57−39√2, 239+169√2, −733+52√2]에 나타나는 239 + 169√2는 르융그레의 방정식 x²+1=2y⁴가 V(2+√2)₀,₃의 해를 구하는 데서 핵심적인 역할을 한다는 것을 확인한다.
• 스코렘의 p진 방법은 Z[√2] 위에서 V(2+√2)₀,₃ 및 V(2+√2)₁,₂에 성공적으로 적용되었으며, 후자의 경우는 해결 가능한 방정식으로 줄이기 위해 커버링 추론이 필요했다.
• 일반적인 B에 대해 시겔의 정리에 의해 PCF 곡선 V(B)N,k 위의 O-점은 유한하며, 이는 Z[√2]-확장의 경우에 명시적으로 실현되었다.