[논문 리뷰] Periodic measures and partially hyperbolic homoclinic classes

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 27.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $C^1$-일반적인 강력하게 전이 가능한 부분적으로 초등각적인 미분동형사상에서 중심이 일차원이고 강력한 분할이 최소일 경우, 강력한 사이클에 의해 생성되는 모든 비초등각적 에르고딕 측도는 주기 측도에 의해 $C^1$-근사 가능하다는 것을 증명한다. 에르고딕 측도의 집합의 폐포는 두 개의 볼록집합의 합집합이며, 이는 두 가지 가능한 $s$-지수에 대응한다. 이 두 볼록집합은 정확히 비초등각적 에르고딕 측도의 폐포를 공유하며, 최소 분할 설정에서 이러한 폐포의 볼록성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we give a precise meaning to the following fact, and we prove it: $C^1$-open and densely, all the non-hyperbolic ergodic measures generated by a robust cycle are approximated by periodic measures. We apply our technique to the global setting of partially hyperbolic diffeomorphisms with one dimensional center. When both strong stable and unstable foliations are minimal, we get that the closure of the set of ergodic measures is the union of two convex sets corresponding to the two possible $s$-indices; these two convex sets intersect along the closure of the set of non-hyperbolic ergodic measures. That is the case for robustly transitive perturbation of the time one map of a transitive Anosov flow, or of the skew product of an Anosov torus diffeomorphism by rotation of the circle.

연구 동기 및 목표

• 강력하게 전이 가능한 부분적으로 초등각적 시스템에서 비초등각적 에르고딕 측도가 주기 측도에 의해 근사될 수 있는지 확인하는 것.
• 이러한 시스템에서 에르고딕 측도의 집합의 폐포의 위상적 및 측도론적 구조를 조사하는 것.
• 강한 안정 및 불안정 분할이 최소일 경우, 에르고딕 측도의 폐포의 볼록성을 확립하는 것.
• 균일하게 초등각적인 설정을 넘어서 비초등각적, 부분적으로 초등각적인 역학에서 시그문드의 정리에 기반한 주기 측도 근사 확장하는 것.
• 강력한 사이클 내의 에르고딕 측도의 폐포가 $C^1$-일반 설정에서 볼록형인지 여부를 해결하는 열린 질문을 해결하는 것.

제안 방법

• 비초등각적 측도의 궤도 근처에서 강력한 사이클 근처를 정확히 따라가는 주기 궤도를 구성하기 위해 [G1]의 샤도잉 보조정리 사용.
• 비초등각적 에르고딕 측도가 주기 측도의 폐포에 속한다는 것을 확인하기 위해 [GIKN]의 기준 적용.
• 강력한 사이클에서 유도된 주기 궤도의 국소 분석을 통해 그들의 초등각성과 $s$-지수를 제어.
• 강한 불안정 방향에서의 균일한 팽창과 안정 다각면으로의 제어된 복귀를 이용해 지수 1의 주기 궤도 구성.
• 국소 불안정 다각면에서의 반복 동역학을 적용하여 궤도 세그먼트가 제어된 왜곡을 갖는 채로 사전에 지정된 순서를 따라가도록 보장.
• 궤도 세그먼트의 위상적 제어와 리아프노프 지수 추정치를 결합하여 목표 측도가 주기 측도에 의해 근사됨을 보장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강력하게 전이 가능한 부분적으로 초등각적 미분동형사상에서 비초등각적 에르고딕 측도는 $C^1$-위상에서 주기 측도에 의해 근사될 수 있는가?
• RQ2 강한 안정 및 불안정 분할이 최소일 경우, 에르고딕 측도의 집합의 폐포는 볼록형인가?
• RQ3 이러한 시스템에서 $s$-지수에 관해 에르고딕 측도의 집합의 폐포의 구조는 어떠한가?
• RQ4 강력한 사이클이 존재할 경우, 지수 1의 주기 측도는 비초등각적 에르고딕 측도를 어떻게 근사하는가?
• RQ5 역학이 비초등각적 불변 측도를 포함할 경우, 에르고딕 측도의 폐포의 볼록성은 유지되는가?

주요 결과

• 일차원 중심과 최소 강력한 분할을 가진 $C^1$-일반적인 강력하게 전이 가능한 부분적으로 초등각적 미분동형사상에서, 에르고딕 측도의 집합의 폐포는 두 가지 가능한 $s$-지수에 대응하는 두 볼록집합의 합집합이다.
• 두 볼록집합은 정확히 비초등각적 에르고딕 측도의 집합의 폐포를 공유한다.
• 강력한 사이클 근처의 모든 비초등각적 에르고딕 측도는 주기 측도의 약한*극한이다.
• 샤도잉과 [GIKN]의 기준을 결합함으로써 비초등각적 에르고딕 측도의 집합의 폐포가 볼록임을 증명한다.
• 지수 1의 에르고딕 측도의 집합은 모든 에르고딕 측도의 폐포에서 밀도를 이룬다. 이들의 볼록 조합은 주기 측도의 집합의 폐포에 포함된다.
• 폐포에 속한 임의의 두 에르고딕 측도 $\mu, \nu$에 대해 선분 $\alpha\mu + (1-\alpha)\nu$는 폐포에 속하며, 이는 $\overline{\mathcal{M}^*(f)}$의 볼록성을 증명한다.