[논문 리뷰] Periodic nonlinear Schrödinger equation with application to photonic crystals

А. А. Панков|ArXiv.org|2004. 04. 25.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 25인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 비선형 항이 초임계적이고 초선형이며 스펙트럼 갭 조건을 만족할 때, 주기적인 비선형 슈뢰딩거 방정식에 비자명하고 지수적으로 감쇠하는 해가 존재함을 확립한다. 이러한 결과를 바탕으로, 주기적 광학 격자에서 국소화된, 전파되거나 정지한 빛의 파동인 스펙트럼 갭 솔리톤의 존재를 증명한다. 특히 비선형성이 자가 초집중 또는 자가 산산화 매질에서 금지된 주파수에 해당할 경우, 이러한 해가 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

We present basic results, known and new, on nontrivial solutions of periodic stationary nonlinear Schrödinger equations. We also sketch an application to nonlinear optics and discuss some open problems.

연구 동기 및 목표

• 주기적인 정적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 무한대에서 0으로 감쇠하는 비자명한 해의 존재 정리를 확립한다. 이때 비선형 항은 초선형이고 임계적이지 않다.
• 선형 연산자 $-\Delta + V$ 가 영을 포함하는 유한한 스펙트럼 갭을 가질 경우, 일반화된 링킹 정리와 주기적 근사 기법을 포함한 변분 방법을 확장한다.
• 추상적 결과를 비선형 광학에 적용하여, 주기적 유전율과 비선형 감도를 갖는 광학 격자에서 스펙트럼 갭 솔리톤의 존재를 증명한다.
• 주파수에 따른 스펙트럼 갭 경계 근처에서 스펙트럼 갭 솔리톤의 분기 행동을 분석한다.
• 부호가 바뀌는 비선형성과 점점 선형에 수렴하는 비선형성(예: 포화 효과)의 경우를 포함한 열린 문제를 규명한다.

제안 방법

• 비선형 항이 초선형이고 임계적이지 않으며, $f$에 대한 표준적인 하한 조건과 부호 조건을 만족할 때, 네하리 다양체와 일반화된 링킹 정리를 기반으로 한 변분 방법을 사용하여 주기성과 스펙트럼 갭 조건 하에서 비자명한 해의 존재를 증명한다.
• 주기적 근사 기법을 적용하여 문제를 표준적인 임계점 이론으로 환원하고, 양의 정부호 경우에서의 결과를 스펙트럼 갭으로 확장한다.
• 전자기파 방정식을 $E$-모드 가정과 시간 평균 비선형 구성관계를 통해 두 차원 비선형 슈뢰딩거 방정식으로 환원한다.
• 비선형 반응를 $\mathbf{D} = (\varepsilon(x) + \chi(x)\langle|\mathbf{E}|\rangle^2)\mathbf{E}$ 로 모델링하여, 축소된 NLS 방정식에서 $f(u) = \chi u^3$ 의 세차 비선형성을 이끌어낸다.
• 연산자 $L_\omega = -\Delta - \omega^2\varepsilon(x)$ 의 스펙트럼 성질을 분석하여, $0 \in \sigma(L_\omega)$ 이면 스펙트럼 갭 $(-\alpha_-, \alpha_+)$ 가 존재함을 보인다.
• 해가 국소화되어 있음을 보장하기 위해 $L_\omega$ 의 스펙트럼 갭 안에 $-\beta^2$ 가 존재할 경우, 비자명한 해의 존재를 확립한다. 이러한 해는 스펙트럼 갭 경계에 접근함에 따라 영 해에서 분기된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 연산자가 스펙트럼 갭을 가지는 경우, 주기적인 비선형 슈뢰딩거 방정식이 무한대에서 감쇠하는 비자명한 해를 가질 조건은 무엇인가?
• RQ2 주기적인 비선형성을 갖는 조건에서, 변분 방법을 통해 광학 격자에서 스펙트럼 갭 솔리톤의 존재를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ3 스펙트럼 갭 솔리톤의 성질—예를 들어 국소화와 전파—는 주파수 $\omega$ 와 파수 $\beta$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 비선형성이 부호가 바뀌거나 점점 선형에 수렴하는(예: 포화 비선형성) 경우, 해의 존재성은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 비선형 계수 $\chi(x)$ 가 정부호가 아닐 경우, 즉 자가 초집중과 자가 산산화 영역이 혼합된 경우에도 존재 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 항 $f$ 가 표준적인 하한 조건과 초임계적, 초선형 성장 조건을 만족할 때, $0$ 이 $-\Delta + V$ 의 유한한 스펙트럼 갭 안에 있을 경우 주기적인 NLS에 대해 비자명하고 지수적으로 감쇠하는 해가 존재한다.
• 자기 초집중 영역($\chi > 0$) 에서는 $-\beta^2$ 가 $L_\omega$ 의 스펙트럼에 속하지 않을 경우, 충분히 큰 $|\beta|$ 에 대해 비자명한 해가 존재한다.
• 자기 산산화 영역($\chi < 0$) 에서는 비자명한 해가 존재하려면 $-\beta^2$ 가 $L_\omega$ 의 유한한 스펙트럼 갭 안에 있어야 하며, 스펙트럼 아래에 있을 경우 존재하지 않는다.
• $\beta = 0$ 이고 $0 \notin \sigma(L_\omega)$ 이면, 모든 금지 주파수 $\omega$ 에 대해 정지 스펙트럼 갭 솔리톤이 존재한다. 이는 $0$ 이 유한한 스펙트럼 갭 안에 있을 때 해당된다.
• 스펙트럼 갭 경계 $\omega_\pm$ 에 접근함에 따라 스펙트럼 갭 솔리톤은 영 해에서 분기되며, 경계에서 $\alpha_\pm \to 0$ 으로 수렴한다.
• 결과는 일차원 구조로 확장 가능하며, 이 경우 문제는 일차원 주기적 NLS로 환원된다. 또한 $\chi(x)$ 가 정부호인 경우에도 결과가 적용되지만, $\chi(x)$ 가 부호가 바뀌는 경우는 여전히 열린 문제이다.