[논문 리뷰] Periodic solutions and the avoidance of pull--in instability in non--autonomous micro--electro--mechanical systems

Shirali Kadyrov, Ardak Kashkynbayev외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 09.

Micro and Nano Robotics참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 T-주기적인 전기력에 의해 구동되는 비자율적 미세전자기계시스템(MEMS)에서 주기적 해의 존재를 조사하며, 일반적인 비선형 스프링 강성과 그래핀 기반 스프링을 갖는 시스템에서 안정한 T-주기적 해와 더 높은 주기(nT, n>1) 해의 존재를 증명한다. 푸앵카레 지도와 수치 시뮬레이션을 통해 이러한 해 주변의 큰 안착 영역이 풀인 불안정성 방지를 가능하게 하여, 주기적 외부 힘 작용 하에서 MEMS 장치의 안정 작동 영역을 크게 확장함을 보여준다.

ABSTRACT

We study periodic solutions of a one-degree of freedom micro-electro-mechanical system (MEMS) with a parallel-plate capacitor under $T$--periodic electrostatic forcing. We obtain analytical results concerning the existence of $T-$ periodic solutions of the problem in the case of arbitrary nonlinear restoring force, as well as when the moving plate is attached to a spring fabricated using graphene. We then demonstrate numerically on a $T-$ periodic Poincar{\'e} map of the flow that these solutions are generally locally stable with large "islands" of initial conditions around them, within which the pull-in stability is completely avoided. We also demonstrate graphically on the Poincar{\'e} map that stable periodic solutions with higher period $nT, n>1$ also exist, for wide parameter ranges, with large "islands" of bounded motion around them, within which all initial conditions avoid the pull--in instability, thus helping us significantly increase the domain of safe operation of these MEMS models.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 비선형 복원력 함수를 갖는 1D MEMS 모델에서 T-주기적 해 존재에 대한 해석적 조건을 수립하기.
• h(x)∝x|x| 형태의 그래핀 기반 MEMS 진동자에서 T-주기적 해를 분석하기.
• 안정적인 주기적 궤도(주기 nT, n>1)와 그에 따른 안착 영역의 존재를 수치적으로 증명하기.
• 푸앵카레 지도 분석을 통해 풀인 불안정성을 피할 수 있는 초기 조건의 큰 영역을 식별하기.
• 큰 안착 영역을 갖는 안정적인 주기적 해를 식별함으로써 MEMS의 안정 작동 영역을 확장하기.

제안 방법

• T-주기적 전압 강성에 의해 구동되는 MEMS를 기술하는 2계 특성 없는 미분방정식의 형식적 분석.
• 일반적인 h(x)에 대해 T-주기적 해 존재를 증명하기 위한 기본 해석 도구의 적용.
• h(x)∝x|x| 형태의 그래핀 기반 스프링에 대해 해석적 결과 유도.
• 상태 공간의 구조를 시각화하기 위해 T-주기적 푸앵카레 지도를 사용한 시스템 동역학의 수치적 통합.
• 다양한 감쇠 및 주파수 조건 하에서 T-주기적 및 nT-주기적 궤도(주기 n>1)의 안착 영역 계산.
• 특히 c≈6.3×10⁻³ 및 ω=1.21 조건에서 안정적인 주기적 궤도와 그에 따른 제한된 운동 영역을 푸앵카레 지도를 통해 시각화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자율적 MEMS 시스템에서 T-주기적 외력이 작용할 때, 임의의 비선형 스프링 강성 h(x)에 대해 T-주기적 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 감쇠 및 외력 주파수와 같은 시스템 매개변수에 따라 T-주기적 해의 안정성과 안착 영역은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 동일한 매개변수 영역 내에서 주기 nT(n>1)의 안정적인 주기적 해가 존재하는가? 그리고 이러한 해는 더 큰 범위의 제한된 운동 영역을 제공할 수 있는가?
• RQ4 고주기 안정 궤도의 존재가 풀인 불안정성을 피하고 작동 안정 영역을 크게 확장시킬 수 있는가?
• RQ5 작은 감쇠가 주기적 해의 전반적 역학 및 안착 영역 형상을 어떻게 결정짓는가?

주요 결과

• T-주기적 해는 광범위한 비선형 스프링 강성 함수 h(x)에 대해 존재하며, 일반적으로 지역적으로 안정되고 큰 안착 영역을 갖는다.
• h(x)∝x|x| 형태의 그래핀 기반 MEMS에서는 엄밀한 해석적 결과를 통해 특정 초기 조건과 매개변수 값과 관련된 T-주기적 해 존재를 확인한다.
• 수치적 푸앵카레 지도 분석을 통해 안정적인 nT-주기적 궤도(n>1)와 큰 제한된 운동 영역이 존재함을 확인하였으며, 이는 안정 작동 영역을 추가로 확장시킨다.
• 작은 감쇠(c≈6.3×10⁻³) 조건에서도 안정적인 nT-주기적 해가 유지되며, 큰 안착 영역 내의 초기 조건을 끌어당겨 풀인 불안정성을 피한다.
• T-주기적 해와 3T-주기적 해의 안착 영역은 복잡한 서로 엮인 나선형 구조를 보이며, 여러 개의 안착 영역이 공존함을 시사한다.
• 작은 소산(c<<1) 조건에서 푸앵카레 지도의 원점에 위치한 중심 T-주기적 해는 전역 안착 영역이 되며, 안정적인 nT-궤도 역시 그 주변의 초기 조건에 대해 효과적으로 작용한다.