[논문 리뷰] Periodicity for space-inhomogeneous quantum walks on the cycle

Toshiyuki Arai, Choon-Lin Ho외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 사이클 그래프 위에서 공간 비균일한 양자 워크의 주기성에 대해 다루며, 이동 이동(-moving shift, MS)과 플립플롭 이동(flip-flop shift, FF)의 두 가지 시간 진동수를 고려한다. 동일 스펙트럼(coins)의 경우, 스펙트럼 분석을 통해 히드라드 워크(Hadamard walk)에 알려진 주기성 결과를 확장한다. 비동일 스펙트럼 케이스에서는 원점에 일반 단위행렬(coins) 하나가 있고 나머지는 항등행렬인 경우, 전체 주기성은 단일 비항등행렬 코인의 고유값에 의해 완전히 결정되며, 주기는 $ T_n(U^{FF}) = Mn $으로 주어지며, 여기서 $ M $은 일반 코인의 고유위상 분수의 분모들의 최소공배수이다.

ABSTRACT

In this paper, we consider periodicity for space-inhomogeneous quantum walks on the cycle. For isospectral coin cases, we propose a spectral analysis. Based on the analysis, we extend the result for periodicity for Hadamard walk to some isospectral coin cases. For non-isospectral coin cases, we consider the the system that uses only one general coin at the origin and the identity coin at the other sites. In this case, we show that the periodicity of the general coin at the origin determines the periodicity for the whole system.

연구 동기 및 목표

• 공간 비균일한 코인을 가진 사이클 그래프 위에서 이산 시간 양자 워크의 주기성을 분석하기 위해.
• 스펙트럼 분석을 이용해 히드라드 워크에 대한 기존 주기성 결과를 동일 스펙트럼 코인 케이스로 확장하기 위해.
• 다른 곳은 항등행렬을 사용하고 오직 한 곳에서만 일반 유니터리 코인을 사용하는 비동일 스펙트럼 양자 워크 시스템의 주기성을 결정하기 위해.
• 비동일 스펙트럼 케이스에서 전체 시스템의 주기성과 비균일 코인의 고유값 사이의 관계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 이동 이동(MS)과 플립플롭(FF) 워크에 대해 사이클 그래프 위에서 시간 진동수 연산자 $ U_n $ 의 스펙트럼 분석을 수행한다.
• 고유값 분해와 유니터리 동치를 이용하여 $ \mathrm{Spec}(U_n^{FF}) $ 와 $ \mathrm{Spec}(U_n^{MS}(\mathcal{C}_n\sigma_x)) $ 를 연결함으로써, 두 모델 간의 결과를 이전할 수 있도록 한다.
• $[C:1,I_2:m]$ 모델을 정의하며, 이는 원점에 단일 일반 코인 $ C $ 를 두고 나머지 곳은 항등행렬 코인을 사용하며, $ n \equiv 0 \pmod{m+1} $ 를 만족한다.
• 시간 진동수 연산자의 $ kn $ 제곱을 유도하여 원점에 있는 비균일 코인의 기여를 분리한다.
• 코인 $ C $ 의 고유위상 분수의 분모들의 최소공배수(lcm)를 적용하여 전체 주기를 계산한다.
• 코인의 고유값에 의해 결정되는 $ U_n^{FF} $-주기성의 정의를 사용하며, $ T_n(U^{FF}) = Mn $, 여기서 $ M = \mathrm{lcm}(M_1,M_2) $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간 비균일한 양자 워크에서 사이클 위의 주기성은 서로 다른 위치에 있는 코인 연산자에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 원점에 단일 비항등행렬 코인이 있는 양자 워크의 주기성은 그 코인의 고유값에 의해 완전히 특징지을 수 있는가?
• RQ3 코인 비균일성 하에서 MS와 FF 워크 모델 간의 주기성은 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 동일 스펙트럼 코인 시스템의 주기성 결과는 히드라드 워크를 초월해 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ5 비균일 코인이 단일 위치에 고립되어 있고 나머지는 항등행렬 코인을 사용할 경우, 시스템의 주기성은 어떻게 스케일링되는가?

주요 결과

• 동일 스펙트럼 코인 케이스에서는 시간 진동수 연산자의 스펙트럼 분석을 통해 히드라드 워크의 기존 주기성 결과를 확장한다.
• 비동일 스펙트럼 $[C:1,I_2:m]$ 모델에서 전체 시스템의 주기성은 원점에 있는 단일 일반 코인 $ C $ 의 고유값에 의해 완전히 결정된다.
• 플립플롭 워크의 주기 $ T_n(U_n^{FF}) $ 는 $ Mn $ 으로 주어지며, 여기서 $ M $ 은 코인 $ C $ 의 고유위상 분수의 분모들의 최소공배수이다.
• $[C:1,I_2:m]$ 모델에서 $ n \equiv 0 \pmod{m+1} $ 를 만족할 경우, 시스템의 주기는 $ m+1 $ 에 대해 선형적으로 스케일링되며, 특히 $ T_n(U_n^{FF}) = (m+1)T_{n/(m+1)}^{FF} $ 로 주어지며, 여기서 $ T_{n/(m+1)}^{FF} $ 는 코인 $ C $ 를 사용하는 균일한 시스템의 주기이다.
• $ U_n^{FF} $ 와 $ U_n^{MS}(\mathcal{C}_n\sigma_x) $ 간의 스펙트럼 동치는 플립플롭 워크의 주기성 결과를 이동 이동 워크 분석으로부터 유도할 수 있도록 한다.
• 논문은 이러한 시스템의 주기성이 코인의 고유값의 대수적 구조, 특히 $ \pi $ 로 표현되는 분수의 유리성에 의해 결정됨을 확립한다.