[논문 리뷰] Periodicity for the Hadamard walk on cycles

Norio Konno, Yuki Shimizu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 사이클 $C_N$ 위의 하다르드 워크가 $N = 2, 4, 8$일 때에만 주기적임을 증명한다. 각각의 주기는 $T_2 = 2$, $T_4 = 8$, $T_8 = 24$이다. 경로 수세기와 원분 다항식 분석을 통해, 다른 모든 $N$에 대해서는 주기성이 없음을 보이며($T_N = \bar{\text{infty}}$), 기존의 고유값 기반 방법과 대비하여 다항식 인수분해에 기반한 새로운 대수적 접근법을 제시한다.

ABSTRACT

The present paper treats the period T_N of the Hadamard walk on a cycle C_N with N vertices. Dukes (2014) considered the periodicity of more general quantum walks on C_N and showed T_2 =2, T_4=8, T_8=24 for the Hadamard walk case. We prove that the Hadamard walk does not have any period except for his case, i.e., N=2, 4, 8. Our method is based on a path counting and cyclotomic polynomials which is different from his approach based on the property of eigenvalues for unitary matrix that determines the evolution of the walk.

연구 동기 및 목표

• 하나의 사이클 크기 $N$에 대해 하다르드 워크가 주기적임을 보이는 정확한 집합을 규명하는 것.
• 기존의 사례 $N=2,4,8$를 초월해 주기성이 발생하는지 여부를 해결하는 것.
• 경로 수세기와 원분 다항식 인수분해에 기반한 새로운 방법을 개발하고 적용하여 주기성 분석을 수행하는 것.
• 모든 $N \notin \{2,4,8\}$에 대해 $T_N = \bar{\text{infty}}$임을 증명하여, 나머지 모든 경우에서 주기성이 없음을 확인하는 것.

제안 방법

• 저자는 하다르드 워크의 진화 연산자 $U_N^{(s)}$의 특성다항식 $\det(\lambda I_{2N} - U_N^{(s)})$를 분석한다.
• 특성다항식을 원분 다항식 $F_r(\lambda)$의 곱과 추가 다항식 $G(\lambda)$의 곱으로 분해한다.
• 인수분해 과정에서 비원분 다항식 인수 $G(\lambda)$가 존재할 경우, 모든 유한한 $n$에 대해 $(U_N^{(s)})^n = I_{2N}$를 만족하지 못하므로 $T_N = \infty$임을 의미한다.
• 홀수 $N$에 대해서는 비원분 다항식 인수 $G(\lambda)$의 존재를 증명하여 주기성의 부재를 배제한다.
• $N = 2^n \times M$이면서 $M$이 홀수이고 $n \geq 1$일 경우, 문제를 홀수 $M$의 경우로 환원하고 주기성 부재 결과를 확장한다.
• $N=16$에 대해 특성다항식을 명시적으로 계산하여 비원분 다항식 인수를 포함하고 있음을 보이며, 이는 $T_{16} = \infty$임을 확인한다. 이를 $n \geq 5$인 $N = 2^n$로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하나의 사이클 크기 $N$에 대해 $C_N$ 위의 하다르드 워크가 주기적임은 언제인가?
• RQ2 기존의 사례 $N=2,4,8$를 초월해 주기성이 지속되는가?
• RQ3 고유값 분석이 아닌 경로 수세기와 원분 다항식 인수분해를 통해 주기성을 판단할 수 있는가?
• RQ4 일반적인 $N$에 대해 진화 연산자 $U_N^{(s)}$의 특성다항식의 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ5 왜 $N \notin \{2,4,8\}$일 때 워크가 주기적이지 않은가? 이 실패를 나타내는 대수적 불변량은 무엇인가?

주요 결과

• 하나의 사이클 크기 $N$에 대해 하다르드 워크는 $N = 2, 4, 8$일 때에만 주기적이다. 각각의 주기는 $T_2 = 2$, $T_4 = 8$, $T_8 = 24$이다.
• $N = 3$일 때 특성다항식은 비원분 다항식 인수 $G(\lambda)$를 포함하므로 $T_3 = \infty$이다.
• 모든 홀수 $N$에 대해 특성다항식은 비원분 다항식 인수를 포함하므로 $T_N = \infty$임을 의미한다.
• $N = 16 = 2^4$일 때 특성다항식은 비원분 다항식 인수 $\lambda^4 - \frac{1}{2}\lambda^2 + 1$과 $\lambda^4 - \frac{3}{2}\lambda^2 + 1$을 포함하므로 $T_{16} = \infty$이다.
• $N = 2^n$이면서 $n \geq 5$일 때 특성다항식은 비원분 다항식 인수를 포함하므로 $T_N = \infty$이다.
• 경로 수세기와 원분 다항식 인수분해에 기반한 이 방법은 기존의 고유값 기반 방법과는 다를 바 있는 새로운 대수적 접근법을 제공한다.