[논문 리뷰] Periods, cycles, and $L$-functions: a relative trace formula approach

Wei Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 23.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상대적 추적 공식을 통해 자동형 주기, 시무라 다양체 위의 특수 사이클, L함수의 중심값 및 도함수를 연결하는 방법을 개발하며, 고전적인 그로스–자지에르 및 발트스부르거 공식을 일반화한다. 이는 unitary Rapoport–Zink 공간에 대한 산술 기본논법 추측을 증명하고, Drinfeld Shtuka를 통해 함수체 설정에서 고차 도함수에 대한 고차 Gross–Zagier 공식을 증명한다.

ABSTRACT

This is a report for the author's talk in ICM-2018. Motivated by the formulas of Gross--Zagier and Waldspurger, we review conjectures and theorems on automorphic period integrals, special cycles on Shimura varieties, and their connection to central values of L-functions and their derivatives. We focus on the global Gan--Gross--Prasad conjectures, their arithmetic versions and some variants in the author's joint work with Rapoport and Smithling. We discuss the approach of relative trace formulas and the arithmetic fundamental lemma conjecture. In the function field setting, Z. Yun and the author obtain a formula for higher order derivatives of L-functions in terms of special cycles on the moduli space of Drinfeld Shtukas.

연구 동기 및 목표

• 상대적 추적 공식을 사용하여 딜리클, 그로스–자지에르, 발트스부르거의 고전적 공식을 고계수 재구성군 및 자동형 L함수로 일반화한다.
• Rapoport–Zink 공간 위의 산술 교차수와 궤도 적분 도함수 간의 연결 고리를 설정한다.
• p진 체 위의 unitary 군에 대한 산술 기본논법(AFL) 추측을 제안하고 증명한다.
• Drinfeld Shtuka를 이용하여 함수체 설정에서 L함수의 고차 도함수로의 그로스–자지에르 공식을 확장한다.
• 특수 사이클과 그 교차 이론의 기하학적 해석을 L값과 자동형 주기와 관련지어 제시한다.

제안 방법

• 구형 부분군 위에서 자동형 주기 적분과 L값 간의 관계를 설정하기 위해 상대적 추적 공식을 활용한다.
• 산술 기본논법(AFL) 추측을 적용하여 특성 함수의 궤도 적분과 Rapoport–Zink 공간 위의 산술 교차수 간의 관계를 설정한다.
• Drinfeld Shtuka의 형식 모듈리 공간에서의 유도된 교차 이론을 활용하여 교차 곱을 계산한다.
• 기본층의 유도된 텐서곱을 사용하여 대각 사이클의 이동에 대한 교차수 Int(g)를 정의한다.
• p진 설정에서의 구형 조화 분석 및 궤도 적분 이론을 적용하여 추적 공식과 L함수 도함수 간의 관계를 설정한다.
• Yun의 함수체 설정에서의 AFL 추측의 유사체를 활용하여 함수체 설정에서 고차 도함수에 대한 그로스–자지에르 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그로스–자지에르 및 발트스부르거 공식은 어떻게 고계수 재구성군 및 자동형 L함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 Rapoport–Zink 공간 위의 산술 교차수와 L함수 도함수 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 p진 체 위의 unitary 군에 대한 산술 기본논법(AFL) 추측은 어느 정도 성립하는가?
• RQ4 L함수의 고차 도함수는 Drinfeld Shtuka 모듈리 공간 위의 특수 사이클로 표현될 수 있는가?
• RQ5 상대적 추적 공식은 자동형 주기, 특수 사이클, L값 간의 연결 고리로서 산술기하학에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• p≥n/2+1 조건 하에 n=2,3 및 G♭(F)의 minuscule 원소 g∈G♭(F)에 대해 산술 기본논법(AFL) 추측이 증명되었다.
• p≥n/2+1 조건 하에 G♭(F)의 minuscule 원소에 대해 AFL 추측이 검증되었으며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• Drinfeld Shtuka 모듈리 공간 위의 특수 사이클의 교차 이론을 통해 함수체 설정에서 고차 도함수에 대한 그로스–자지에르 공식이 확립되었다.
• 정규화된 궤도 적분 도함수 ∂Orb(γ,1_G′(O_F))가 ω(γ)∂Orb(γ,1_G′(O_F)) = −2·Int(g)·log q 식을 통해 산술 교차수 Int(g)에 비례하는 것으로 밝혀졌다.
• Rapoport–Zink 공간 위의 유도된 교차 이론을 사용하여 n=2,3 및 p≥n/2+1 조건 하에 minuscule 원소에 대해 AFL 추측이 증명되었으며, 이를 확장하였다.
• Yun의 함수체 설정에서의 AFL 추측의 유사체는 Drinfeld Shtuka 모듈리 공간 위의 특수 사이클을 통해 L함수의 고차 도함수를 기하학적으로 표현하는 공식을 제공한다.