[논문 리뷰] Periods implying almost all periods, trees with snowflakes, and zero entropy maps

Alexander Blokh|arXiv (Cornell University)|1991. 07. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 7인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 나무 위 연속 함수에 대해, 주기 $ n $을 갖는 사이클이 존재할 경우 $ n $의 소인수가 $ \text{End}(X)+1 $ 보다 크지 않다면 모든 충분히 큰 주기를 갖는 사이클이 존재함을 증명한다. 이는 나무 맵에 대한 Misiurewicz 추측을 증명하고, '积雪' 구조를 통해 영 엔트로피 맵을 특성화하며, 조합적积雪가 영 엔트로피 나무 맵의 주기적 행동을 정확히 기술함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $X$ be a compact tree, $f$ be a continuous map from $X$ to itself, $End(X)$ be the number of endpoints and $Edg(X)$ be the number of edges of $X$. We show that if $n>1$ has no prime divisors less than $End(X)+1$ and $f$ has a cycle of period $n$, then $f$ has cycles of all periods greater than $2End(X)(n-1)$ and topological entropy $h(f)>0$; so if $p$ is the least prime number greater than $End(X)$ and $f$ has cycles of all periods from 1 to $2End(X)(p-1)$, then $f$ has cycles of all periods (this verifies a conjecture of Misiurewicz for tree maps). Together with the spectral decomposition theorem for graph maps it implies that $h(f)>0$ iff there exists $n$ such that $f$ has a cycle of period $mn$ for any $m$. We also define {\it snowflakes} for tree maps and show that $h(f)=0$ iff every cycle of $f$ is a snowflake or iff the period of every cycle of $f$ is of form $2^lm$ where $m\le Edg(X)$ is an odd integer with prime divisors less than $End(X)+1$.

연구 동기 및 목표

• 연속 나무 맵에 대한 Misiurewicz 추측을 검증하는 것—즉, 충분히 많은 작은 주기를 갖는다면 모든 양의 정수 주기를 갖는다는 주장이다.
• 연속 나무 맵의 사이클 주기 집합을 특성화하여, 구간 맵을 넘어서 Sharkovskii 정리를 확장하는 것.
• 계층적 주기성을 갖는 연결된 집합의 중첩 사이클을 사용하여 영 엔트로피 나무 맵의 구조를 기술하는 것—'积雪' 개념을 도입한다.
• 조합적积雪와 실제 영 엔트로피 역학 간의 대응 관계를 수립하여, 연속적 확장을 통해 실현 가능함을 보여주는 것.

제안 방법

• ap-성질 정의: 나무 $ X $ 에 대해 정수 $ n $ 이 $ X $ 에 대해 ap-성질을 갖는다는 것은, 주기가 $ n $ 인 사이클을 갖는 임의의 맵이 어떤 $ j(n,X) $ 보다 큰 모든 주기를 갖는다는 것을 의미한다.
• 스펙트럼 분해와 사이클 구조 분석을 사용하여, $ n $ 이 $ X $ 에 대해 ap-성질을 갖는 것은 그 모든 소인수가 $ \geq \text{End}(X)+1 $ 인 것과 동치임을 증명한다.
• ‘积雪’ 맵의 개념 도입: 연결된 불변 집합 $ C \subset X $ 에서 정의된 연속 맵으로, 주기가 $ 1 = m_0 < m_1 < \cdots < m_k $ 인 중첩된 사이클이 계층적 주기성을 형성한다.
• 유한 맵의 연속적 확장을 구성하여 조합적积雪를 실제 영 엔트로피 역학으로 실현함을 보장하며, 모든 궤도가 주기적 사이클로 수렴하도록 한다.
• 유한 집합에서 그들의 연결 캄프로의 맵을 귀납적으로 확장하여 사이클 구조를 유지하고 비주기 궤도의 수렴성을 확보한다.
• 그래프 맵의 스펙트럼 분해 정리를 적용하여 주기적 행동과 엔트로피, 특히 영 엔트로피 영역에서의 관계를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나무 맵에서 주기가 $ n $ 인 사이클이 존재할 경우, 어떤 정수 $ n $ 에 대해 모든 충분히 큰 주기를 갖는 사이클이 존재하는가?
• RQ2 나무 위 연속 맵에 대해 Misiurewicz 추측이 성립하는가? 즉, 모든 주기 $ 1 $ 에서 $ L(X) $ 가 존재하는가? 이 경우 모든 주기를 갖는가?
• RQ3 영 엔트로피 나무 맵의 정확한 역학적 구조는 무엇이며, 이를 조합적으로 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 모든 조합적积雪(계층적 집합의 사이클)는 나무 위의 연속 영 엔트로피 맵의 주기적 구조로 실현 가능한가?
• RQ5 끝점 수 $ \text{End}(X) $ 와 전체 주기성을 유도하는 최소 주기 집합 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 정수 $ n $ 이 나무 $ X $ 에 대해 ap-성질을 갖는 것은 그 모든 소인수가 $ \geq \text{End}(X)+1 $ 인 것과 동치이며, 이는 나무로의 Sharkovskii 정리 일반화이다.
• Misiurewicz 추측은 나무 맵에 대해 성립한다: 만약 $ f $ 가 $ 1 $ 에서 $ 2\cdot\text{End}(X)\cdot(p-1) $ 까지의 모든 주기를 갖는다면, $ f $ 는 모든 주기를 갖는다. 여기서 $ p $ 는 $ \text{End}(X) $ 보다 큰 최소 소수이다.
• $ m \leq \text{End}(X) $ 이고 $ k \geq 0 $ 인 임의의 $ m, k $ 에 대해, $ h(f) = 0 $ 이고 주기가 $ 2^k m $ 인 주기점이 존재하는 연속 맵 $ f $ 가 존재함을 보여, 영 엔트로피 역학에서 이러한 모든 주기를 실현 가능함을 보여준다.
• 맵 $ f $ 가 영 엔트로피를 갖는 것은 그 주기적 행동이积雪 구조로 기술될 때에만 성립한다: 계층적 주기성을 갖는 연결된 집합의 중첩 사이클로, $ 1 = m_0 < m_1 < \cdots < m_k $.
• 모든 유한 맵이 조합적积雪일 경우, 전체 나무 위에서 영 엔트로피를 갖는 연속 맵으로 확장 가능하며, 이는积雪가 영 엔트로피 나무 맵에서 유일한 가능한 주기적 구조임을 증명한다.
• 주기가 $ n = pk $ 인 맵에 대해, $ p > 1 $ 이 $ \text{End}(X)+1 $ 보다 작은 소인수를 갖지 않는다면, 엔트로피의 하한은 $ h(f) \geq \frac{\ln 2}{k(p\cdot\text{End}(X)-1)} $ 이며, 이 값은 양이며 $ k $ 가 감소할수록 증가한다.