[논문 리뷰] Permissive Barrier Certificates for Safe Stabilization Using Sum-of-squares

Li Wang, Dongkun Han외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 24.

Fault Detection and Control Systems참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비선형 제어 시스템에서 안정성과 안전성을 동시에 보장하면서 안전 안정화 영역을 최대화하는 데 중점을 두어, 제곱합(SOS)-기반 방법을 제안한다. 기존 리아푸노프 하위레벨 집합에 의존하지 않고 임의의 형태를 가진 장벽 증명을 구성함으로써, 수축성이고 안전한 영역을 더 넓게 확보하며, 반복적인 SOS 최적화를 통해 안정성 영역 추정의 비보수성(conservativeness)을 해소한다.

ABSTRACT

Motivated by the need to simultaneously guarantee safety and stability of safety-critical dynamical systems, we construct permissive barrier certificates in this paper that explicitly maximize the region where the system can be stabilized without violating safety constraints. An optimization strategy is developed to search for the maximum volume barrier certified region of safe stabilization. The barrier certified region, which is allowed to take any arbitrary shape, is proved to be strictly larger than safe regions generated with Lyapunov sublevel set based methods. The proposed approach effectively unites a Lyapunov function with multiple barrier functions that might not be compatible with each other. Iterative search algorithms are developed using sum-of-squares to compute the most permissive, that is, the maximum volume, barrier certificates. Simulation results of the iterative search algorithm demonstrate the effectiveness of the proposed method.

연구 동기 및 목표

• 안전 기반 제어 시스템에서 안전성과 안정성 간의 갈등 문제를 해결하기 위해, 기존 방법이 제약 조건 간의 불일치로 인해 실패할 수 있음을 고려한다.
• 리아푸노프 조건을 완화하지 않고도 안정성과 안전성을 동시에 보장하는 방법을 개발하여, 증명 가능한 안전성과 수렴성을 확보한다.
• 제곱합 프로그래밍을 활용해 장벽 증명의 형태와 부피를 최적화함으로써, 안전 안정화 영역을 가능한 한 크게 계산한다.
• 리아푸노프 하위레벨 집합 기반의 안정성 영역 추정에서의 보수성 문제를 해결하기 위해, 타원형이 아닌 임의의 형태의 수축 집합을 허용한다.
• 다양한 상호 배타적인 장벽 함수를 리아푸노프 함수와 유사하게 통합할 수 있는 통합 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 이 방법은 다항부등식으로 구성된 관용적 장벽 증명을 통해 수축성이고 안전한 영역을 정의하며, 설계상으로 리아푸노프 함수와 명시적으로 호환되도록 한다.
• 장벽 증명이 보장하는 안전 안정화 영역의 부피를 최대화하는 최적화 문제를 설정하며, 시스템 궤도를 따라 장벽 함수의 도함수의 음이 아닌 성질을 보장하기 위해 SOS 제약 조건을 적용한다.
• 비볼록 최적화 문제를 해결하기 위해 반복적인 SOS 프로그래밍을 사용하며, 모멘트 이론을 통해 이중 행렬 부등식을 볼록 근사로 변환한다.
• 장벽 증명이 리아푸노프 함수의 하위레벨 집합에 국한되지 않아, 기존의 타원형 추정을 초월하는 임의의 다항형태를 가질 수 있다.
• 시스템 상태가 안전 영역 내에 머물러 있고 평형점으로 수렴하도록 보장하기 위해, 장벽 함수의 리이 델리베이티브(Lie derivative)가 영역 내에서 정의상 음이 되도록 확인한다.
• 반복 알고리즘을 통해 장벽 증명을 개선하여, 안전 경계가 모두 만족될 때까지 인증된 영역을 점진적으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리아푸노프 하위레벨 집합을 통한 추정보다 더 넓은 안전 안정화 영역을 갖는 장벽 증명을 구성할 수 있는가?
• RQ2 서로 상호 배타적인 다수의 장벽 함수를 리아푸노프 함수와 통합하여 안정성과 안전성을 동시에 보장할 수 있는가?
• RQ3 가장 관용적인(최대 부피) 장벽 인증 영역을 계산할 수 있는 최적화 프레임워크는 무엇인가?
• RQ4 제곱합 프로그래밍을 사용하여 비볼록 문제인 장벽 인증 영역 최대화 문제를 효율적으로 해결하면서도 안전성과 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 기존 하위레벨 집합 방법에 비해, 임의의 형태의 장벽 증명을 허용함으로써 안정성 영역 추정의 보수성은 어느 정도 감소하는가?

주요 결과

• 2차원 예제(시스템 12)에서, 안전 안정화 영역은 고정된 녹색 타원(DoA 추정 V ≤ 5.8628)에서 두 번째 순서 다항식 장벽 h(x) ≥ 0로 정의된 더 큰 점선 파란 타원으로 확장되었다.
• 3차원 예제(시스템 13)에서는 장벽 인증 영역(파란 타원체)이 리아푸노프 하위레벨 집합 추정(검은 타원체)보다 상당히 크게 확장되었으며, 반복적인 SOS 최적화를 통해 최대 부피 영역이 달성되었다.
• 이 방법은 장벽 증명 조건을 완화하지 않아도 100% 안전 보장을 달성하였으며, 인증된 영역 내에서 완전한 안정화가 이루어졌다.
• 반복적인 SOS 알고리즘이 안전 안정화 영역을 안전 제약 경계가 모두 만족될 때까지 성공적으로 확장하여, 비보수성의 성질을 입증하였다.
• 3차원 사례에서의 장벽 증명은 2차 다항식으로, 10개의 계수를 포함하며, h(x) ≥ 0로 정의된 영역을 제공한다. 여기서 h(x) = 114.3555 + 1.4686x₁ + 7.2121x₂ + 19.8479x₃ - 14.7734x₁² - 26.0129x₁x₂ - 15.5440x₁x₃ - 28.3492x₂² - 27.5651x₂x₃이다.
• 제안된 방법은 두 예제 모두에서 리아푸노프 하위레벨 집합 방법을 뛰어넘었으며, 리아푸노프 기반 방법이 단일 안전 제약 조건에 접촉함으로써 종료되는 지점까지도 장벽 인증 영역이 확장됨을 보였다.