[논문 리뷰] Permutation polynomials of the form x+c*Tr(x^k)

Gohar Kyureghyan, Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 03.

Coding theory and cryptography참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 $\mathbb{F}_{q^n}$ 위에서 형태 $X + \gamma \operatorname{Tr}_{q^n/q}(X^k)$인 순열 다항식을 분류하며, $q$, $n$, $k$, $\gamma$에 대한 특정 조건 하에서 이들이 체를 순열함을 증명한다. 추적 함수 분석, 단위근 순열 기준, 그로버 기저, 평면 함수 기법 등 다양한 방법을 사용하여 아홉 가지의 서로 다른 가족을 확립하며, 이러한 이항 순열 다항식에 대한 종합적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Let F_{q^n} be the field of order q^n, and let Tr be the trace map from F_{q^n} to its q-element subfield. We exhibit nine sequences of polynomials of the form f(x):=x+c*Tr(x^k), with c in F_{q^n}, such that for each polynomial the function F_{q^n}-->F_{q^n} given by c-->f(c) is a permutation of F_{q^n}. We also computed all permutation polynomials of this form over finite fields of size less than 5000, and found that our examples comprise all examples with n>1 except for some simple cases where the polynomial induces a homomorphism of the additive group of F_{q^n}, along with a few sporadic examples. One intriguing feature is that our proofs of the different sequences use various different methods, including a new variant of Dobbertin's method among others.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 경우를 제외하고, 유한체 $\mathbb{F}_{q^n}$ 위에서 형태 $X + \gamma \operatorname{Tr}_{q^n/q}(X^k)$인 모든 순열 다항식을系통적으로 식별하고 분류하는 것.
• $\gamma \in \mathbb{F}_{q^n}^*$ 이고 $k$ 가 $p$ 의 거듭제곱이 아닐 때, 이러한 이항식이 $\mathbb{F}_{q^n}$ 를 순열하는 데 필요한 구조적 및 산술적 조건을 이해하는 것.
• 추적 함수 조작, 단위근 순열 기준, 그로버 기저 계산 등 다양한 기법을 통합하여 순열 행동을 증명하는 일관된 프레임워크를 구축하는 것.
• 관찰된 순열 다항식이 무작위가 아니라 깊이 있는 대수적 및 수론적 구조에서 유래된다는 것을 보여주는 것.
• 이러한 순열 다항식의 대부분이 정리 1.1에 나열된 아홉 가족에 포함되며, 이 가족 외부에 있는 비자명한 예외적인 경우는 소수라는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 순열 다항식 $\mathbb{F}_{q^n}$ 의 순열성을 $(q^n-1)/(q-1)$-번째 단위근의 집합 $\mu_{(q^n-1)/(q-1)}$ 의 순열성으로 줄이는 데에 Proposition 2.2 를 사용한다.
• 유리 함수와 거듭제곱 사상에 의한 추적 조건의 재구성으로, (a)–(d) 및 (g)의 경우에서 검증을 단순화한다.
• 기타 방법이 실패하는 (e) 및 (f)의 경우를 다루기 위해 다변수 다항식환에서의 그로버 기저 계산에 기반한 도브베르틴의 방법의 변형을 활용한다.
• (h)의 경우에 대해 제곱수와 비제곱수 분해 전략을 사용하며, 평면 함수에 대한 애파인 동치를 활용하여 다항식이 각 집합에서 별도로 순열함을 보여준다.
• (i)의 경우에 대해 Proposition 2.2 의加법적 유사체를 적용하여 순열 조건을 $\mathbb{F}_q$ 위에서 $X + c$ 와 동치인 함수를 유도하는 다항식의 행동으로 줄인다.
• (h)의 경우에 핵심 항등식 $L(H(x^2)) = L(x)^2$ 를 활용하여 제곱수와 비제곱수에서의 행동을 제곱 사상과 연결하고, 직접 전단사성 검증을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $q$, $n$, $k$, $\gamma$ 에 대한 어떤 조건에서 다항식 $X + \gamma \operatorname{Tr}_{q^n/q}(X^k)$ 이 $\mathbb{F}_{q^n}$ 을 순열하는가?
• RQ2 모든 함수 $\mathbb{F}_{q^n} \to \mathbb{F}_{q^n}$ 중에서 순열 함수의 밀도가 낮음에도 불구하고 이러한 순열 다항식이 다수 존재하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 무한한 가족의 이러한 순열 이항식의 존재를 설명하는 구조적 또는 수론적 이유는 무엇인가?
• RQ4 단위근 순열, 그로버 기저, 평면 함수 기법 등 다양한 대수적 기법을 어떻게 효과적으로 융합하여 순열 행동을 증명할 수 있는가?
• RQ5 정리 1.1에 제시된 가족들이 이러한 형태의 비자명한 순열 다항식을 얼마나 광범위하게 포함하는가?

주요 결과

• 다항식 $X + \gamma \operatorname{Tr}_{q^n/q}(X^k)$ 는 $n=2$, $q \equiv \pm 1 \pmod{6}$, $\gamma = -1/3$, $k = 2q - 1$ 일 때, $\mu_{q+1}$ 위에서 유리 함수의 순열성에 의해 $\mathbb{F}_{q^2}$ 를 순열한다.
• $n=2$, $q \equiv 5 \pmod{6}$, $\gamma^3 = -1/27$, $k = 2q - 1$ 일 때, 다항식은 $\mathbb{F}_{q^2}$ 를 순열하며, 이 증명은 단위근 위에서의 삼차 유리 함수 행동에 기반한다.
• $n=2$, $q \equiv 1 \pmod{3}$, $\gamma = 1$, $k = (q^2 + q + 1)/3$ 일 때, 다항식은 $\mathbb{F}_{q^2}$ 를 순열하며, 이는 거듭제곱 사상 $X^N$ 이 $\mu_{q+1}$ 를 순열하기 때문이다.
• $n=2$, $q \equiv 1 \pmod{4}$, $(2\gamma)^{(q+1)/2} = 1$, $k = (q+1)^2/4$ 일 때, 다항식은 $\mu_{q+1}$ 내의 제곱수와 비제곱수에 대해 별도로 작용함을 분석함으로써 $\mathbb{F}_{q^2}$ 를 순열한다.
• $n=3$, $q$ 가 홀수, $\gamma = 1$, $k = (q^2 + 1)/2$ 일 때, 다항식은 Proposition 2.2 를 두 번 적용하고 $X^{q^2+q+1} - 1$ 모듈로로 줄여 $\mathbb{F}_{q^3}$ 를 순열한다.
• $n=2\ell r$, $\gamma^{q^{2\ell}-1} = -1$, $k = q^\ell + 1$ 일 때, 다항식은 관련된 덧셈 다항식이 $\mathbb{F}_q$ 위에서 $X + c$ 함수를 유도함을 보여줌으로써 $\mathbb{F}_{q^n}$ 을 순열한다. 이는 Proposition 2.1 에 의해 보장된다.